小学生数学基本活动经验的积累

朱贵玺

史宁中教授指出：“数学基本活动经验包括思维的经验和实践的经验。”小学数学教学中，应让学生在现实的情境中发现和提出数学问题，经历归纳和演绎推理的过程，循序渐进地摸索规律，尝试建立数学模型，并进行验证和意义推广。在此过程中，一方面需要学生“从头到尾”地经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，积累各个环节的经验;另一方面还需要学生通过观察操作、抽象联想、概括总结和迁移应用等数学化的思维活动，亲身经历和感悟数学知识的形成、发展以及应用，建立正确思考问题的路径，形成一定的数学直观，培养学生数学创新的意识和能力。

一、 在“问题解决”的过程中发展思维经验

问题解决包括发现问题、提出问题、分析问题和解决问题四个环节。“问题解决”的数学课堂就是用“问题解决”的方式来引领、组织数学课堂教学，让学生在探索解决问题的方法路径的过程中，强化数学问题意识，渗透数学思想方法，培养解决问题的策略，积累思维经验，增强学习的信心和动力，产生积极的情感和态度。

1. 夯实发现和提出数学问题的经验

问题是思维的起点。数学问题应该既是学生真正有疑问、感到困惑的问题，又具有数学思考的价值，它存在于“学生现在在哪里”和“学生能够到哪里”的区间之中。实际上，在目前的小学数学课堂上，学生发现和提出问题的机会很少，所以教学中我们应该首先培养学生发现和提出问题的意识和习惯。

（1）唤醒经验，“领着”学生发现和提出数学问题

学生原有的知识经验就是学生的学习起点，因此在教学中教师要有意识地设计一些数学活动，贴近学生的学习起点，唤醒学生已有的知识经验，激活学生数学学习的内在需求，产生发现和提出问题的强烈愿望。例如：苏教版五年级上册“解决问题的策略”一课开始，教师设计了“投飞镖”活动，标靶的外圈6环，中圈8环，内圈10环，3名同学每人投掷1次，可能会有多少种结果？学生在活动结束后，马上发现了可能有4种情况：10环、8环、6环、0环。接着，开始第二轮投掷，还是刚才的3名同学，每人投掷2次，在投中的情况下一共会有多少种情况？学生在这样的情境中，唤醒了已有的经验——四年级学习过的搭配规律，同时也对投中的情况进行了初步的、零散的思考，在不知不觉中对本节课学习的“一一列举”策略产生了需求，“怎样进行一一列举？”的问题也随之产生了。

（2）摸透心理，“顺着”学生发现和提出数学问题

小学生具有典型的好奇、好动、好玩、好胜的心理特点。因此，在实际教学中我们应该摸透学生的心理特点，设计一些具有“挑衅性”的数学活动，让学生产生一些“争议”，在相互讨论中发现问题、提出问题。例如：苏教版四年级上册“可能性”一课开始，教师设计了“抽奖”活动：一次摸2个球，同色你赢，奖励5元奖品，异色你输，付5元摸奖费。如果是你，你会去试试吗？四年级的学生对概率有一定的直觉经验，但是这种直觉经验可能是错误的，也可能是正确的。所以，在开始时学生就呈现出了两种态度：一种是可以试一试;另一种是不了解摸奖的情况不能试。对于这样的“争议”，教师顺势引导学生思考：哪一种是我们应该采纳的意见？为什么呢？帮助学生认识到“不完整信息”（没有告诉我们摸奖球的数量）对于这个活动的影响，同时让学生主动质疑和追问：怎样才是公平的呢？不仅顺利地导入新课，切入教学主题，同时让学生在交流和讨论中提出了核心数学问题，为下一步教学奠定了坚实的基础。

（3）把握生成，“逼着”学生发现和提出数学问题

实际教学中教师教的不只是知识，更重要的是能够准确地捕捉到学生有价值的问题和想法，迅速聚焦并重组，“逼着”学生主动形成解决问题的思路。例如：苏教版四年级下册“升和毫升”一课开始，出示“一杯水的量大约有多少？”的现实问题，唤起了学生的生活经验——“大约250克”的重量估计，接着追问：能用毫升来表示吗？这杯水有多少毫升呢？这时学生提出需要了解“1毫升有多少”，教师迅速用量杯展示“1毫升”的水。学生新的疑问又产生了：用毫升来估计一杯水的量，该怎么办呢？接下来需要给学生一个探究的空间。这样，在学生生成的问题中，教师迅速把握住了“1毫升有多少”这一核心问题，进而在下面的教学中“逼着”学生自己动手实验探究，逐步发现10毫升、20毫升、50毫升、100毫升、150毫升……的量，积累了丰富的经验和表象，为进一步认识“毫升”建立正确的数学直观。

2.理清分析和把握数学问题的经验

在学生发现和提出数学问题后，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图和列表等活动分析和把握数学问题的逻辑关系，大胆猜测结论，发展合情推理能力。合情推理的主要方式是归纳和类比，归纳是一种从特殊到一般的推理方法，类比则是由一类事物所具有的某种属性，可以推测出与其相似的事物也具有这种属性的一种推理方法。在日常教学实践中，要引导学生经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比提出猜想，培养合情推理能力。

（1）归纳猜想，在“留白”中洞悉问题特征

学生分析问题往往容易受到“前经验”的干扰，所以在进行归纳猜想的时候，也会出现一些暂时性的“误判”。对此，教师应该在表明同意与否的基础上，给予学生一定的“留白”，试着建议学生去展开分析，找一找可以确信的依据，只有这样归纳猜想的过程才能充分体现思维的含量。例如：苏教版教材六年级上册“解决问题的策略——替换”一课，在学生分析倍数关系的替换时，能够较快地发现替换后，杯子个数变了，果汁的总量没有改变。随后在分析相差关系时，很多学生受“前经验”的影响，出现了暂时性的分析“困难”，教师没有急于评价，也没有暗示方法，而是耐心地让学生再在稿纸上画一画，同时小组讨论：替换时（“大杯换小杯”或者“小杯换大杯”）是怎样换的？什么不变？什么变了？与前面的替换是一样的吗？学生在画一画、议一议、辩一辩的过程中逐渐弄清了相差关系与倍数关系的异同，进一步明确了“把两种未知量转化为一种未知量”的难点，感受了“化归”的数学思想。

（2）类比猜想，在“思辨”中理清问题脉络

类比是一种从特殊到特殊的推理方法，其结果具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或实践检验。因此，在教学中对于问题的分析要让学生经历“思辨”的价值诉求，从中梳理问题的脉络，找到解决问题的正确方向。例如：在教学“因数和倍数”一课时，学生在认识了因数和倍数的关系后，利用整数乘法计算快速、有序、没有遗漏地找到了36的因数。接下来教师继续引导学生找出3的倍数，教师适时追问：什么样的数是3的倍数？这个问题的提出让学生快速回忆了因数和倍数的关系以及找一个数因数的方法，思维活跃了，探究的欲望自然产生，在教师的启发和学生的思辨中，学生会做出猜想：整数（0除外）和3相乘所得的数是3的倍数。对于这个猜想，教师马上让学生动手试一试，操作、验证，逐步有序地找到100以内3的倍数。

3.完善验证和解决数学问题的经验

在数学规律的发现过程中，学生提出猜想后，要从两个方面入手：演绎证明此猜想为真;或者寻找反例说明此猜想为假，并且进一步修正或者否定此猜想。从演绎证明和举反例两个方向上去逐步解决数学问题是数学教学中最常用的方法之一。

（1）演绎证明，在“逻辑”中校正思维方向

演绎推理是一般到特殊的推理方法，它的逻辑形式对于理性的重要意义在于对人的思维保持严密性、一贯性，它最典型、最重要的应用通常存在于逻辑和数学证明中。除了传统的培养演绎推理能力的一些“三段论”判断外，在实际教学中我们应该有意识地创新形式，丰富培养学生演绎推理能力的途径。例如：在教学苏教版教材“三位数乘两位数”一课时，教师设计这样的一组题（如下图），发展学生的演绎推理能力。

先请学生观察竖式一，自己尝试推理。推理一：看尾数，因为6×8=48，积的个位上的数是8，现在个位上的数是4，所以竖式错误。推理二：估算1，因为398>300，26>20，300×20=6000，398×26>6000，而积现在是3184，所以竖式计算错误;估算2，因为398≈400，26≈30，所以400×30≈12000。现在积是3184，所以竖式错误。这时，教师再出示竖式二，让学生找出竖式中存在的错误：用十位上的2×398，要注意积的数位对齐。最后呈现竖式三，小结计算方法，强调计算过程中需要注意的问题，运用估算对结果进行验证。这样的教学设计，先让学生关注整体，从整体（估算）中发现问题，再引导学生在局部找到解决问题的方法，对症下药，正反兼施，切实培养学生的演绎推理能力。

（2）寻找反例，在“质疑”中完善认知结构

举反例在实际教学中有着广泛的应用，它能够揭示猜想中的不合理部分，有助于对猜想的修正和继续证明。因此，我们要在课堂小结中引导学生学会“质疑”，寻找反例，不断对猜想或者结论进行剖析，加深对规律的理解，完善学生的认知结构。例如：苏教版教材三年级上册“间隔排列”一课，在学生通过观察、操作、讨论和交流，认识到教材中“间隔排列”的规律后，教师没有马上进行小结，而是让学生拿出准备好的正方形和圆片，按照间隔排列的规律排列，如果要摆10个正方形，圆片最少需要多少个？最多需要多少个？在学生充分动手摆一摆后，教师让学生呈现与教材中“间隔排列”规律（两端都是正方形）不一样的情况：（1）两端都是圆片（圆片11个），（2）两端不同（圆片10个），（3）摆成封闭图形（圆形）。最后，展示生活中“间隔排列”的现象，再小结“间隔排列”的规律。这里虽然没有让学生寻找反例（主要考虑三年级学生的认知水平），但是通过“摆一摆”的活动，让学生进一步认识 “间隔排列”（植树问题）的规律，丰富了规律的外延，为以后的学习奠定基础。

二、 在经历数学活动的阶段中累积实践经验

史宁中指出：“基本活动经验是指学生亲自或者间接经历活动过程而获得的经验。”在这一过程中，学生大致需要经过经历、内化、概括和迁移的思维过程，其数学基本活动经验也相应地处于模仿、思辨、模型和实质四个层次。对此，在教学中引导学生通过观察操作、抽象联想、概括总结和迁移应用来不断提升学生的数学基本活动经验的水平，积累各种实践性经验，建立一定的数学直观。

1.模仿阶段，在“观察”中累积直接经验

学生在“问题解决”的课堂教学起始阶段，需要对学习对象进行数学观察。数学学习中的观察是有意识地对数和形（平面和立体图形）的特点及相互关系进行感知，获得事物表象的认知活动。例如：苏教版六年级上册“长方体和正方体的认识”一课，学生在看一看、数一数、量一量的过程中，发现了长方体面、棱、顶点的数量和特征，教师适时让学生小组内互相指指说说。接下来，探究正方体的特征，学生已经有研究长方体特征的“经验”，教师放手让学生根据表格的内容自己研究，并且填在作业纸上。学生很快地完成了任务，不仅用眼观察，还能用尺子量，这样在操作中感知了正方体的特征，为后面理清长方体和正方体的关系奠定了坚实的基础。

2.思辨阶段，在“抽象”中重组认知经验

当学生在数学观察基础上，对数学知识技能有了初步的认知后，需要对头脑中已存事物的表象重新组合、再加工，也就是抽象出事物的共性特征，包含“异中求同”和“同中求异”两个重要方面。例如：苏教版六年级下册“圆柱的认识”一课，在学生观察认识圆柱的特征后，设计了一个操作活动：让学生制作圆柱模型。学生在制作过程中遇到了问题：如何准确把握圆柱底面周长和侧面展开长方形的长之间的关系，二者如果能够切合，那么圆柱的侧面和底面就能够顺利连接起来，反之则不行。这时，引导学生思辨交流，准确找到圆柱侧面与底面之间的关系。这样的数学活动，很好地实现了认知经验的重组，达到了事半功倍的教学效果。

3.模型阶段，在“概括”中凝练间接经验

学生亲历数学活动过程获取的数学经验是直接经验，实际教学中学生更多是面对抽象程度高、应用程度广的间接经验。为此，在教学中要善于帮助学生在获取直接经验的基础上，提供更多的与之相似或者同类的间接经验，概括出数学模型，开阔学生的学习视野，丰富学生“数学化”的知识经验。例如：苏教版三年级下册“平均数”一课，教师设计了如下一些实际问题：苹果的总重量÷筐数=平均每筐苹果的重量，投篮投中的总数÷人数=平均每人投中的数量……在相关生活实例的基础上进行“概括”，总结出数量关系的共同点，形成总数÷份数=平均数的数学模型。并让学生通过解决实际问题逐渐感悟到：移多补少的策略主要用于解决几个小数据的实际问题;而对多个较大数据求平均数的实际问题，使用总数÷份数=平均数这一数学模型解决问题更简便。

4.实质阶段，在“迁移”中验证知识经验

尝试迁移应用已有的知识经验，解决具有一定挑战性和综合性的问题，是小学生数学基本活动经验积累应用的高级阶段。这一阶段，学生能够由此及彼、触类旁通地进行知识迁移，准确把握解决问题的思维方向，全面提升了解决问题的意识和能力。例如：在学完比例知识后，教师设计了“测量物体及影子”的综合实践活动课。首先，测量学校里4棵大树的树干高度，接着测量在同一时间段每棵大树影子的长度，做好记录。然后利用学过的比例知识计算同一时间段树高和影长的比值，运用这个比值和影长来估测学校里其他大树的高度，最后再实际验证估测的结果。整个活动，学生参与的积极性高，思维活跃，在迁移运用知识经验的同时，强化了数学与生活的联系，让学生获得了成功的体验，提高了学好数学的信心。

数学基本活动经验既是一种过程，也是一种结果。实际教学中，学生通过抽象，亲历了知识的形成过程，积累个性化的直接经验;通过推理，验证更多的猜想，积累正确思考问题的经验;通过建模，把数学应用到客观世界，解决实际问题，积累解决问题的经验，最终建立更高层次的数学直观，形成数学逻辑经验，实现2011版课程标准中“人人都能获得良好的数学教育”的目标。

参考文献

[1] 刘同军.数学基本活动经验导论[M].北京：国家行政学院出版社，2013.

[2] 郭玉峰.数学基本活动经验研究量化与课堂实践[M].长沙：湖南教育出版社，2013.

【责任编辑：陈国庆】