浅议以二次函数为背景与四边形相结合的存在性问题解题策略

袁熹旸

摘 要：二次函数是初中数学的重要内容，是数与形结合的典范，特别是以二次函数为背景与四边形相结合的存在性问题数学题，因其知识面广，技巧性强，区分度较高，有利于优秀人才的选拔，因此，备受中考命题组的青睐。

关键词：二次函数;特殊四边形;数学思想

以二次函数为背景与四边形相结合的存在性问题，对知识的迁移能力、灵活的运用能力和分析能力要求较高，因此，近几年成为全国各省、市中考压轴题.

一、与平行四边形相结合的存在性问题

例1.（2013年临沂）如图1，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标;

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标;若不存在，请说明理由.

解：（1）y=x2-2x-.

（2）点P的坐标是（2，-）.

（3）存在.

①当存在的点N在x轴的下方时，如图2所示，

∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，

∴点C与点N关于对称轴x=2对称.

∵C点的坐标为（0，-），

∴点N的坐标为（4，-）.

②当存在的点N1在x轴上方时，如图2所示，作N1H⊥x轴于点H

∵四边形ACM1N1是平行四边形，

∴AC=M1N1，∠N1M1H=∠CAO

∴Rt△CAO≌Rt△N1M1H，∴N1H=OC

∵点C的坐标为（0，-），∴N1H=，即N1点的纵坐标为，

∴x2-2x-=，解得x1=2+，x2=2-.

∴点N1的坐标为（2-，）和（2+，）.

综上所述，满足条件的点N共有三个，分别为（4，-），

（2+，），（2-，）.

二、与矩形相结合的存在性问题

例2.（2014年浙江湖州）如图3，已知在平面直角坐标系xoy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c>0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD.

（1）若点A的坐标是（-4，4），

①求b，c的值;

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由;

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在，请说明理由.

解：（1）①b=-4，c=4.

②四边形AOBD是平行四边形;理由如下：

由①得抛物线的解析式为y=-x2-4x+4，∴顶点D的坐标为（-2，8）

过D点作DE⊥AB于点E，则ED=OC=4，AE=2

∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC.∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°

∴△AED≌△BCO，∴AD=OB.∠DAE=∠CBO，∴AD∥OB

∴四边形AOBD是平行四边形.

（2）存在，点A的坐标可以是（-2，2）或（2，2）

要使四边形AOBD是矩形;则需∠AOB=∠BCO=90°

∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=

又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC

∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC

∵点是抛物线与y轴交点，∴OC=c

∴A点坐标为（c，c），∴顶点横坐标=c，b=c

∵将A点代入可得c=-（c）2+c·c+c

∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2

∴A点坐标可以为（2，2）或者（-2，2）.

三、与菱形相结合的存在性问题

例3.（2013年枣庄卷）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

解：（1）y=x2-2x-3.

（2）存在点P，使四边形POP1C为菱形;

如图5，设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP1交CO于E点.

若四边形POP1C是菱形，则有PC=PO;

连接PP1，则PE⊥CO于E.

∴OE=EC=，

∴y=-

∴x2-2x-3=-

解得x1=，x2=（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（，-）

（3）如图6，过点P做y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得直线BC的解析式为y=x-3，则 点Q的坐标为（x，x-3）;

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=AB·OC+PQ·BF+PQ·OF

=×4×3+（-x2+3x）×3

=-（x-）2+

当x=时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为（，-），四边形ABPC面积的最大值为.

参考文献：

樊龙.一道二次函数的动点问题[J].中学生数学，2014（4）.

？誗编辑 杨兆东