浅谈岩土工程分析的非线性有限元理论

张晓杰 杨姗姗 刘文会 李静

【摘要】目前，岩土弹塑性力学中常用的准则有很多种，在国内外的学者普遍认为Mohr-Coulomb屈服准则和Drucker-Prager屈服准则对于岩土类材料比较适用。

【关键词】岩土；非线性；有限元理论；弹塑性

1.概述

在工程建设中，很多实际岩土工程问题的解决最后都归结到边界值问题的分析上来。在解决边界值的问题上，边界条件、平衡方程以及应变协调方程是在进行数值分析时必须要满足的条件，但是怎样选择土特性的应力应变本构模型才是问题能否得到实际解答的决定因素，而这种岩土本构关系的重要性也随着研究手段的进步和计算机技术的迅猛发展而更加突出。在现阶段的研究中，人们越来越关注以弹塑性理论为基础的本构模型的研究。

2.岩土弹塑性本构关系

2.1 岩土的弹塑性分析

岩土材料在应力比较小而变形时，可认为材料是线弹性的，但如果岩土材料的应力达到或超过某一值时，则材料表现出塑性变形。

一般来说，弹性理论模型是一种最简单的模型，许多岩土问题只运用线弹性理论来分析就可以达到预定的精度要求，但对于岩土工程中大多数实际问题，只用线弹性理论计算是不合理的，线弹性理论模型不能描述岩土材料的残余变形特性，所以还它的非线性特征也应该考虑进去。

结构刚度是变化的，这是非线性问题的基本特点，可以分为三类：材料非线性、几何非线性和状态非线性。这三类问题各有不同，几何非线性是由结构变形的大位移引起的；材料非线性是由材料的非线性物理性质引起的；状态非线性是一种与状态相关的非线性的行为。

2.2 屈服准则

理想弹塑性材料在没有屈服前，仅有弹性变形，一旦屈服，就将发生塑性变形，而且屈服前后应力应变关系相差很大。通过以往的试验，材料的应力状态和材料屈服之间有着十分密切的关系，对于复杂受力情况，当各个应力分量的函数组合达到一定值时，就可以用以下公式来表示：

（1）

式中：

—屈服函数。

对某一 值，则函数在应力空间中对应一个确定的屈服曲面。当 值不断变化时，对应一系列屈服面，故将上式称为屈服准则。

有屈服准则可知，使 < 的状态称为弹性状态，这时介质对无限小的外部作用的反应是弹性的；使 = 的状态称为塑性状态，此时材料已经产生了屈服，对外部作用的反应是弹塑性的；而 > 的状态是不存在的，或者说也可能超过原来的 值，但由于材料屈服后发生了“硬化”，所以此时的 值提高了，仍然保持着 的函数塑性状态。

目前，岩土弹塑性力学中常用的准则主要有：Mises准则与广义Mises准则，Tresca准则与广义Tresca准则，Mohr-Coulomb准则，Drucker-Prager准则，Zienkiewicz-Pande准则，Lade-Duncan准则，松冈-中井（SMP），俞茂宏双剪准则。在国内外的学者普遍认为Mohr-Coulomb屈服准则和Drucker-Prager屈服准则对于岩土类材料比较适用[43]。

2.3 莫尔-库仑（Mohr-Coulomb）屈服准则

莫尔-库仑准则是一种最大剪应力准则，它是莫尔应力圆方法和库仑强度理论的结合，在 时（ ， ， 为主应力），可由最大剪应力（即莫尔圆的半径） 与法向应力（即莫尔圆的圆心坐标） 表示为下式：

（2）

所以可得出在应力空间中，屈服函数的表达式为：

（3）

或者用矢量表达式为：

（4）

式中：

—屈服面上的剪应力；

—内聚力；

— 所在平面上的正应力；

—内摩擦角。

或用应力张量来表示：

（5）

式中：

—通常称之为Lode角；

—应力第一不变量， ；

—应力偏量的第二不变量，可有下式来计算：

（6）

或者

（7）

可见，Mohr-Coulomb準则在π平面上的 在 时比 时要大，故为一个不等角的六边形，在应力空间中，Mohr-Coulomb屈服面为一六棱锥面。因此Mohr-Coulomb屈服准则就存在着两大缺点：第一，在π平面上是一个不等角的六边形，造成了奇异点的存在，对计算机在数值计算方面带来了很大的困难。第二，准则只考虑了最大剪应力（ ， ），没有考虑主应力 对强度的贡献。

2.4 弹塑性本构方程

要对弹塑性过程的应力、应变和位移进行分析，本构方程的建立尤其显得重要。

岩土的应变由可分为恢复的弹性应变 和不可恢复的塑性应变 两个部分。其中的弹性应变可按照弹性理论虎克定律计算，塑性应变则可用塑性理论进行求解。如图1所示，以抽象的应力应变坐标来表示岩土的非线性关系，其“斜率”为 。 为弹性模量E，在 曲线中表示的是弹性阶段的斜率； 为塑性模量 ，表示塑性应力增量 与 对应的斜线的斜率 ；而 为弹塑性模量 ，表示应力增量 与应变增量 之比。弹塑性应力-应变关系的矩阵表达式，通常写成如下形式：

图1 弹塑性应力应变关系

（8）

（9）

式中：

—弹性应变；

—塑性应变；

—为弹塑性刚度矩阵，可按下式计算：

（10）

这里A是反映硬化特性的一个变量，与硬化参数H的选择有关。

对于理想塑性材料，A=0，则有：

（11）

结语语

1.弹塑性问题至今在工程中得到了广泛的应用，已成为工程数值方法的一个核心课题。

2.要对弹塑性过程的应力、应变和位移进行分析，本构方程的建立尤其显得重要，弹塑性本构方程归根结底就是材料的应力和应变在弹塑性状态下之间的关系问题。

参考文献：

[1]谢定义， 姚仰平， 党发宁. 高等土力学[M]. 北京： 高等教育出版社， 2008.

作者简介：张晓杰（1980-），男，河北邯郸人，河北联合大学迁安学院，助教。