有形的数学

玉花

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1672-8882（2015）05-146-01

“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》阐述课程内容中的一句话，其中“几何直观、运算能力和模型思想”是这次新课程标准中新增加的内容，凸显了其在义务教育阶段数學课程中的重要性。

那么，什么是几何直观呢？“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。” 也被称为有形的数学。几何直观这里的“图形”主要指点、线、面、体以及以上四要素组成的其它几何图形；几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是数学问题，而且可以是生活问题。为什么在2011年版义务教育数学新课程标准中，要提出应当注重发展学生的几何直观呢？

一、几何直观有助于学生对数学概念的理解

小学生是按照“感知――表象――概念”这一规律学习数学知识的。几何直观可强化感性认识，能为建立清晰而准确的概念打下基础。

例如，教学“三角形的认识”时，为了让学生能准确理解什么是三角形？导入新课，老师可让学生拿出自己准备好的三角板摸一摸它的外观，引导学生说出这就是“三角形”后，并让学生用三角板或尺子画出“三角形”，再让学生说一说：“你是怎样画三角形的？”“用三条线段首尾相接画成一个三角形。”接着问：在生活中还有哪些物体的外形是三角形的？学生举例：红领巾、小三角旗、自行车框架、屋架等，教师随之播放准备好的课件，呈现这些几何图案。接着引导学生“做”三角形：用三根小棒摆一摆，摆成一个三角形，并让一名学生在实物投影仪上操作演示，并让这位学生说一说：“你是怎样摆的？”“用三根小棒首尾相接摆成一个三角形。”其他同学也互相说一说，怎样摆成一个三角形？此时，老师在黑板上画一个三角形，然后启发学生说：“通过刚才摸三角形、画三角形、摆三角形，你们说说看，什么样的图形叫三角形呢？”在学生讨论交流的基础上得出结论：由三条线段围成的图形叫做三角形。

以上通过摸一模、画一画、摆一摆三角形，引导学生在几何直观中认识三角形，描述三角形，感知三角形的本质特征，在学生大脑中逐步建立了三角形的清晰表象，使他们从具体到抽象逐渐理解了三角形的概念。从这个教学实例可以看出，通过几何直观的感性认识，为描述清晰而准确的“三角形”概念起到了关键的作用。

二、几何直观有助于发展学生的空间观念

培养空间观念是小学数学新课程标准的重要内容之一。“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”小学生的空间观念往往是在直观学习几何知识中形成的，或学生利用形象直观的几何图形来描述和分析问题，解决问题，获取知识的同时，反过来又在大脑中建立了物体的大小、形状等表象，发展了自己的空间观念。因此，要让学生通过各种观察、实际操作直观的几何图形，来描述分析问题，在解决问题和获取知识的过程中，促进空间观念的形成和发展。

例如，在“圆柱的表面积”教学中，学生通过观察圆柱体，明确圆柱的表面积包括“圆柱的侧面积和两个底面的面积”后，老师提出问题引导学生思考：“圆柱的侧面积是一个曲面怎样计算呢？” “能不能把曲面变成平面呢？” “能不能把圆柱的侧面积展开来看一看呢？” 接下来重点引导学生动手操作：“拿出一张准备好的长方形纸裹住圆柱，我们可以把裹住圆柱的长方形纸看作圆柱的侧面，同桌的同学共同动手试一试，想像一下如果沿着圆柱的高将长方形纸剪开，展开后看一看有什么发现？”学生合作探究：观察思考展开后的这张长方形纸的形状与圆柱体的侧面有什么关系？即长方形与圆柱体的侧面有什么关系？探究发现：长方形的大小就是圆柱侧面的大小，长方形的面积就是圆柱的侧面积，长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，圆柱的侧面积=长方形的长×宽=圆柱的底面周长×高；圆柱的表面积=圆柱的底面周长×高+两个底面的面积=Ch+∏r2×2 。

这样，运用长方形纸裹住圆柱后展开，让学生直观观察圆柱的“曲面”变“平面”，又运用长方形的面积公式，直观推导出圆柱的侧面积公式，进而得出圆柱的表面积公式。以上充分运用几何直观，感受圆柱侧面“化曲面为平面”的转化过程，圆柱的侧面形状、大小与长方形的形状、大小及相互位置关系在学生头脑中留下了直观的表象，很好地发展了学生的空间观念。

三、几何直观有助于学生对复杂数学问题的理解

《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程内容中有一段表述：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

例如，在教学“乘法分配律”时，可以借助两个平面组合图形求其面积之和的过程，简明、形象的呈现不易理解的“乘法分配律”的产生和由来，运用几何直观，把抽象的“乘法分配律”变得简明、形象，易于学生理解和识记。又如，在教学“数的认识”时，教师可以帮助学生利用圆形、三角形、正方形或长方形等纸片，直观理解数量和数的意义；在教学“解决复杂数量关系的问题”时，要善于利用线段图来描述和分析问题中的数量关系；在解决“鸡兔同笼”等问题时，要重视通过列表分析解决问题；在探索事件发生的变化规律时，要重视利用统计图表帮助学生直观感受事件发生的变化规律并预测结果；在探索函数关系的变化规律时，要重视利用表格、图像进行描述和分析等。

因此，教师要善于在教学中有效运用几何直观这一有形的数学，帮助学生理解数学概念，发展空间观念，将复杂、抽象的数学问题变得简明、形象，帮助学生打开、拓展解决问题的思路，帮助学生形象、直观地理解数学，学习数学，学好数学。