双无限环境中马氏链函数加权和的极限定理

万成高，赵琦

（湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062）

0 引言

20世纪80年代初，Cogburn R等人开始研究随机环境中马氏链的一般理论，取得了一系列深刻的结果［1-3].Orey S［4]在Cogburn R等人的研究基础上对随机环境中马氏链进行了深入的研究，并提出了一系列的问题，引起了众多概率论学者的广泛关注，使得随机环境中马氏链一般理论的研究成为国际上又一新的研究方向.国内学者对这一领域进行了深入的研究［5-8].大家知道，随机变量加权和的强收敛性的研究一直是经典极限理论研究中的热门课题，取得的结果已十分深入.这种研究不仅仅是受到大数定律研究的推动，而且在考虑线性模型最小二乘估计的相容性时就要讨论随机变量加权和的强收敛性，因此这种研究无疑是非常重要的.对随机环境情形，马氏链函数加权和强收敛性的研究结果并不多见.笔者研究了双无限环境中马氏链函数的强极限定理，得到了双无限环境中马氏链函数加权和强收敛性成立的一系列充分条件.本文中约定：C总表示正常数，且在不同的地方可以表示不同的值.集合A的示性函数记为ⅠA.

除特别说明外，本文中沿用文献[1-4]中的符号和术语.设(Ω,ℱ,P)是一概率空间，(X,A)和(Θ,ℬ)均为任意的可测空间，ξ⇀={ξn,n=…,-1,0,1,…}和X⇀={Xn,n≥0}分别是(Ω,ℱ,P)上取值于Θ和X的随机序列，{P(θ):θ∈Θ}是 (X,A)上的一族转移函数，且假设对任意的A∈A,P(·;·,A)是 ℬ×A 可测的.设记定义Ξ→Ξ上推移算子T:(Tθ⇀)n=θn+1.记Pn(C)=P((Xn,Tnξ⇀)∈C)，其中C∈A×ℬ⇀.

如果对任意A∈A,n≥0有

则称X⇀为双无限环境ξ⇀中的马氏链，称ξ⇀为双无限环境序列.若ξ⇀是一马氏序列，则称X⇀为马氏环境ξ⇀中的马氏链.

设{Xn,n≥0}是随机变量序列，X为一非负随机变量，C＞0为常数，若对任意的x＞0,n≥0，都有则称{Xn,n≥0}为概率一致有界于X，并记为{Xn}＜X.

1 引理和主要结论

引理 1[7]设X⇀为双无限环境ξ⇀ 中的马氏链，则 {(Xn,Tnξ⇀):n≥0}是一步转移概率为Q(x,θ⇀,A×B)=P(θ0;x,A)ⅠB(Tθ⇀)的马氏双链.

引理2设X为随机变量，且对任意的x＞0，都有P(|X|＞x)≤CP(V＞x)，其中V为非负随机变量，C＞0为常数，则对任意的x＞0,q＞0，有

引理3[7]设X⇀为双无限环境ξ⇀中马氏链，{gn:n≥0}是(X,A)上的有界可测函数列.对任意的k≥1，记

其中m=0,1,…,k-1，则{Yn,σn:n≥0}是鞅差序列.

下面我们研究双随机环境中马氏链函数加权和的强收敛性.

定理1设X⇀为双无限环境ξ⇀中马氏链，{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的两个正实数列，cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是(X,A)上的可测函数列，若有：

则对任意的k≥1，有

及

这里我们约定：对任意的k≥1,X-k≡0.

推论1设X⇀为双无限环境ξ⇀中马氏链，{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的两个正实数列，cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可测函数列且 {fn(Xn)}＜V.对任意的x＞0,定义N(x)=Card{n:cn≤x},若V满足：

（a）EN(V)＜∞;

则对任意的k≥1，有（2）式，（3）式成立.

推论2设X⇀为双无限环境ξ⇀中马氏链，{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的两个正实数列，cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可测函数列且 {fn(Xn)}＜V.对任意的x＞0,定义N(x)=Card{n:cn≤x},若V满足：

（a）EN(V)＜∞;

则对任意的k≥1，有（2）式，（3）式成立.

推论3设X⇀为双无限环境ξ⇀中马氏链，{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的两个正实数列，cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可测函数列且 {fn(Xn)}＜V.对任意的x＞0,定义N(x)=Card{n:cn≤x},若V满足：

（a）EN(V)＜∞;

则对任意的k≥1，有（2）式，（3）式成立.

定理2在定理1或推论1或推论2或推论3的条件下，若

则对任意的N≥1，有

其中

定理3在定理2的条件下，若

则

2 主要结论的证明

引理2的证明 由积分等式

有

定理1的证明 先考虑k=1的情况.对任意的m≥0，记

由条件（i）及Borel-Cantelli引理知Z′m仅有限项成立 a.s..因此

由条件（ii）知

故

对任意的δ≥0，令则τ为0时，并且有

从而

由单调收敛定理知

所以

即

由δ的任意性及（8）式得

因此

综合（6～7）及（10）式知（2）式对k=1的情形成立，又由Kronecker引理知（3）式对k=1的情形也成立.

下面再考虑k＞1的情形.对任意的n=1,2,3,…,k-1,对{Xmk+n:m≥0}完全类似于k=1的证明有

从而

亦即（2）式对k＞1成立，又由Kronecker引理知（3）式对k＞1也成立.

推论1的证明只须验证定理1的（i）、（ii）、（iii）成立即可.由于

由（a）知（i）成立.

因为

由（a）、（b）知（ii）成立.

由引理2有

以及

上面最后一个不等式成立基于下列事实：

由（13～14）式及（a），（c）知（iii）成立，推论1证毕.

推论2的证明 沿用推论1的证明方法，由（13）式，我们只需证

推论3的证明沿用推论1的证明方法，由（e）我们有

从而推论3成立.

定理2的证明由定理1可知对任意的N≥1和k=1,2,…,N，有

注意到

从而有

而

其中

于是有

类似于（10）式的证明有

从而

由（11）式，完全类似地可以证明

再由 Hο¨lder不等式

及

知

综合（17）～（20）式，并利用条件，对所有k≥1,s≥1，就有

定理3的证明由于

由定理2，欲证（6）式成立，只需证

而

从而由（5）式知（21）式成立，继而（6）式成立.

［1]Cogburn R.The ergodic theory ofMarkov chains in random environments［J].ZWahrsch Verw Gebiete，1993，66（2）：109-128.

［2]Cogburn R.Markov chains in random environments：the case of Markovian environment［J].Ann Prob，1980，8（3）：908-916.

［3]Cogburn R.On the central limit theorem forMarkov chains in random environments［J].Ann Prob，1991，19（2）：587-604.

［4]Orey S.Markov chains with stochastically stationary transition probabilities［J].Ann Prob，1999，19（4）：907-928.

［5]王汉兴，戴永隆.马氏环境中马氏链的Poisson极限律［J].数学学报，1997，40（2）：265-270.

［6]方大凡.马氏环境中马氏链的Shannon-McMillan-Breiman定理［J].应用概率统计，2000，16（3）：295-298.

［7]郭明乐.双无限随机环境中马氏链的强大数定律［J].应用数学，2005，18（1）：174-180.

［8]李应求.双无限随机环境中马氏链的瞬时性与不变函数［J].数学年刊，2003，24A（4）：515-520.

［9]李应求，王苏明，胡杨利.马氏环境中马氏链的一类强极限定理［J].数学进展，2008，27A（5）：539-550.

［10]李应求，汪和松，王众，马氏环境中马氏链转移函数概率几何平均及其泛函的强极限定理［J].数学物理学报，2011，31A（2）：508-517.