NA列部分和乘积的极限定理

徐锋，吴群英

（桂林理工大学理学院，广西 桂林 541004）

0 引言

定义1［1]称随机变量X1，…，Xn为NA（negatively associated）的，如果对于{1，2，…，n}的任何两个不相交的非空子集T1与T2，都有

其中f和g是任意两个使得协方差存在的且对每个变量均非降（或对每个变量均非升）的函数；称随机变量序列{Xn，n≥1}是NA序列，如果对任何自然数n≥2，变量X1，X2，…，Xn都是NA的.

NA随机变量是一包含独立随机变量在内的广泛的随机变量类，并且它在可靠性理论、渗透理论及多元统计分析理论等均有广泛的应用，因此对其的研究具有重要的意义.1983年，统计学者Joag-Dev和Proschan正式引入了NA随机变量的概念后，迄今对NA随机变量概率性质及其应用的研究已经获得了很多深入的结果.

为了便于讨论，先叙述与本文中相关的已有结果.众所周知，对于独立同分布正的平方可积的随机变量的乘积是渐近对数正态的.对{Xn，n≥1}服从指数分布独立同分布的随机变量序列，且EX1=1，Aronold和 Villaseñr［2]首先得到了

Rempała和Wesołowski［3]改进了这一结果，移除了文献［2]中{Xn，n≥1}服从指数分布的条件，得到了对i.i.d.正的随机变量序列部分和乘积的中心极限定理，即

定理A［3]设{Xn，n≥1}是i.i.d.正的平方可积的随机变量序列，EX1=μ，varX1=σ2＞0，变异系数γ=σ/μ，则

其中，N表示标准正态随机变量.

Gonchigdanzan和Rempała［4]讨论了上述形式的几乎处处中心极限定理，得到了如下的结果.

定理B［4]设{Xn，n≥1}是i.i.d.正的平方可积的随机变量序列，EX1=μ，varX1=σ2＞0，变异系数γ=σ/μ，则

其中F（·）是随机变量的分布函数，N表示标准正态随机变量.

Yu［5]针对部分和乘积的极限定理，给出了另一种形式的中心极限定理和几乎处处中心极限定理.

定理C［5]设{Xn，n≥1}是i.i.d.正的平方可积的随机变量序列EX1=μ，varX1=σ2＞0，变异系数γ=σ/μ，令

对∀x∈R，有）

其中F（·）是随机变量eN的分布函数，N表示标准正态随机变量.

叶大相和吴群英［6]在Yu［5]的基础上对部分和乘积的几乎处处中心极限定理中的权重dn做了进一步的推广，给出了如下的定理.

定理D［6]设{Xn，n≥1}是i.i.d.正的随机变量列EX1=μ，varX1=σ2＞0，变异系数则对∀x∈R，有

其中F（·）是随机变量eN的分布函数，N表示标准正态随机变量.

针对定理C和定理D，将其推广到了NA列，并将（5）式的权重dn作了推广.假设{Xn，n≥1}是平稳的NA列，我们知道是存在的，且进一步，若那么其中参阅文献［7-8]）以下记表示存在一个常数c使得an≤cbn.符号“→d”表示依分布收敛表示依概率收敛.c表示与n无关的正常数，在不同地方可表示不同的值.并假设0＜cn→∞，且

1 主要定理

定理1 设{Xn，n≥1}是平稳正的NA随机变量序列，EX1=μ，varX1=σ2＞0，记Yi=（Xi-μ），i≥1，满足

则

其中N表示标准正态随机变量.

定理2设{Xn，n≥1}是平稳正的NA随机变量序列，EX1=μ，varX1=σ2＞0，记Yi=（Xi-μ），i≥1，满足

且存在常数β＞0，使得则对∀x∈R，有

其中F（·）是随机变量eN的分布函数，N表示标准正态随机变量.

注1 因为i.i.d.随机变量序列是NA序列的特殊情况，故对NA列的成立i.i.d.的随机变量序列也成立.当{Xn，n≥1}为i.i.d.序列，（6）式的因此（7）式成立，（3）式也成立.

注2［9]假如用满足的权重序列去替代{ }dn，n≥1 ，（10）式仍然成立.

注3 如果取cn=n，则（9）式中当{Xn，n≥1}为i.i.d.序列，（8）式的var()X1，因此定理2不仅将定理D从独立情形推广到了NA列，也将权重dn进行了推广.

2 定理的证明

先介绍证明中需要的两个引理.

引理1［9]设{Yi，i≥1}是平稳的NA列，满足假设存在常数β＞0，使得则对∀x∈R，有

引理2［10]设{Xi，i≥1}为同分布NA序列，记，则对0＜p＜2，使得

成立的充要条件是：E|X1|p＜∞；且当0＜p＜1时，b可为任何实数；当1≤p＜2时，b=EX1.

定理1的证明（7）式等价于

从而得到

其中θk∈（0，1），k=1，2，…，n.

首先我们估计A1，记显然，{Yi，i≥1}是NA的.且则

现在估计A2.对某一固定的k，1≤k≤n，及∀ε＞0有

因此，根据a.s.收敛的判别准则（参阅文［11]中定理1.5.2）可知

关于k一致成立.

再由引理2可知，

关于k一致成立.从而有

另一方面，因为

以及当|x|＜1/2，有x2/（1+θx）2≤4x2.故对任意的θ∈（0，1），有

这就完成了定理1的证明.

定理2的证明因为（10）式等价于

所以当n→∞，有

利用（17～18）式立即得（16）式.这就完成了定理2的证明.

［1]Joag-Dev K，Proschan F.Negativeassociation of random variableswith applications［J].Ann Statist，1983，11：286-295.

［2]Arnold BC，Villaseñr JA.Theasymptotic distribution ofsumsof records［J].Extremes，1998，1（3）：351-363.

［3]RempałaGA，Wesołowski J.Asymptotics for productsofsums and U-statistics［J].Electron Comm Probab，2002（7）：47-54.

［4]Gonchigdanzan K，Rempała G A.A note on the almost sure limit theorem for the product of partial sums［J].Applied Mathematics Letters，2006，19：191-196.

［5]Yu M.Central limit theorem and almost sure central limit theorem for the product of some partialsums［J].Proc Indian Acad Sci（Math Sci），2008，118（2）：289-294.

［6]叶大相，吴群英.部分和乘积的几乎处处中心极限定理［J].桂林理工大学学报，2011，31（3）：471-472.

［7]Wu Q Y，Jiang Y Y.Almost sure central limit theorem for self-normalized partial sums of negatively associated random variables［J].Discrete Dynamics in Nature and Society，2014（1）：1-9.

［8]Newman C M.Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent variables［J].Statist Probab Lett，1984：127-140.

［9]苏淳，王岳宝.同分布NA序列的强收敛性［J].应用概率统计，1998，14（2）：131-140.

［10]Wu Q Y.An almost sure central limit theorem for theweight function sequences of NA random variables［J].Proc Indian Acad Sci（Math Sci），2011，121（3）：369-377.

［11]吴群英.混合序列的概率极限理论［M].北京：科学出版社，2006：17.