用于第二类Fredholm积分方程解的函数值Padé-Frobenius逼近

汪海鹏，潘宝珍，刘　永

（上海大学理学院，上海 200444）

用于第二类Fredholm积分方程解的函数值Padé-Frobenius逼近

汪海鹏，潘宝珍，刘永

（上海大学理学院，上海 200444）

函数值Padé-型逼近已被应用于求第二类Fredholm积分方程的逼近解.函数值Padé-型逼近存在的首要条件是Hankel行列式不为0，为避免这一条件的限制，给出一种新的函数值Padé-Frobenius逼近的定义及构造.通过分析Toeplitz矩阵核结构的特征，给出了一种分母次数最低的函数值Padé-Frobenius逼近的算法，从而拓宽了求第二类Fredholm积分方程逼近解的范围.最后，通过数值实例证明了该方法的有效性.

Hankel行列式；函数值Padé-Frobenius逼近；Fredholm积分方程；Toeplitz矩阵

设第二类Fredholm积分方程为

式中，K（s，t）和y（s）分别是在正方形区域［a，b］×［a，b］和区间［a，b］上的连续函数.通过连续迭代，方程（1）的解可以展开为一个具有函数值系数的幂级数：

式中，

其中称Ki（s，t）为第i阶迭核.假定f（s，λ）作为λ的函数在λ=0处是解析的，则对于足够小的|λ|，幂级数f（s，λ）（式（2））是收敛的.同时，yi（s）∈L2［a，b］是实平方可积函数.

设yi（s），yj（s）∈L2［a，b］，它们的内积及范数分别定义如下：

为了获得难以处理的积分方程的解，尤其当积分方程具有形如式（2）的发生函数时，人们对Padé逼近方法产生了兴趣.这是因为Padé逼近易于计算，同时对有限秩的积分方程解的逼近最终是精确的.Baker等［2］提出了广义逆函数值Padé-型逼近的定义.Gu等［3］提出了广义逆函数值Padé逼近的计算方法，并应用于第二类Fredholm积分方程的求解.由于构造的特点，广义逆函数值Padé逼近的分母多项式必须是偶数阶多项式，这是由整除的性质所决定的.潘宝珍等［4］引入了一种从多项式空间到函数值空间的广义线性泛函，建立了函数值Padé-型逼近（function-valued Padé-type approximation，FPTA）的定义和算法.本工作为了避免在FPTA构造过程中要求Hankel行列式不为零的这一条件限制，受文献［5］启发，给出了函数值Padé-Frobenius逼近（function-valued Padé-Frobenius approximation，FPFA）的定义及构造.通过讨论Toeplitz矩阵核结构的特征，从而得到在保持逼近阶不变的情况下，分母次数最低的一种函数值Padé-Frobenius逼近的计算方法.最后，通过实例说明FPFA拓宽了求第二类Fredholm积分方程逼近解的范围.

1　函数值Padé-Frobenius逼近的定义与构造

定义1设f（s，λ）是形如式（2）的函数值形式幂级数，Pm，n（s，λ）是关于λ的次数不超过m的函数值多项式，Qm，n（λ）是关于λ的次数不超过n的数量多项式，若满足条件：

注1当Qm，n（λ）/=0时，定义1中的函数值Padé-Frobenius逼近与经典函数值Padé逼近一致；当Qm，n（λ）=0时，函数值Padé-Frobenius逼近关于λ的逼近阶小于m+n+1.

为了求出方程组（6）的系数q0，q1，···，qn，参照文献［3］，对方程组（6）中的每个方程等式两边分别关于ym-n+1（s）作内积，则有

式中，当k＜0时，yk=0.

记Hankel矩阵

首先引进Toeplitz矩阵序列

式中，m-n+1≤k≤m+n.记

显然，向量空间Ker Tk与多项式空间Nk同构.记dk为多项式空间Nk的维数，为了研究方便，约定

为了给出Toeplitz矩阵序列Tk核空间所同构的多项式空间Nk中元素间的结构关系及特征，需要用到如下3个引理.

引理1记Δk=dk-dk-1（m-n+1≤k≤m+n+1），设Hk+1是空间Nk+1中子空间Nk+λNk的补空间，hk+1是空间Hk+1的维数，则

证明由Nk的定义可知，Nk，λNk是Nk+1的子空间，且有NkTλNk=λNk-1.由维数公式可得

根据式（13）可得

所以，Δk+1≥Δk.由规定dm-n=0及观察所知dm-n+1=0，可得Δm-n+1=0.

同理，可得Δm+n+1=2.

观察不等式（12）可知，一定存在上临界值µ1和下临界值µ2（µ1≤µ2），使得

引理2设u=rank Tm，其中Tm是由方程组（9）确定的矩阵，则µ1=m-n+u，µ2= m+n-u+1.

证明由Δk的定义及式（11）可得

另外，由式（14）可得

由式（16）和（17）可得

从而推导出

同理，可得

最后，求得µ1=m-n+u，µ2=m+n-u+1.

引理3 设Toeplitz矩阵Tk（k=m-n+1，m-n+2，···，m+n）所对应的多项式空间为Nk，则

当k=µj（j=1，2）时，由式（14）可得，hµj+1=Δµj+1-Δµj=1-0=1，即dimHµj+1= hµj+1=1，则Nµj+1=（Nµj+λNµj）˙+Hµj+1.

定理1设Q1（λ），Q2（λ）分别是关于f（s，λ）对应上、下临界值µ1，µ2的两个多项式，则多项式空间Nk中的元素特征如下：

式中，q1（λ），q2（λ）分别是次数不高于k-µ1-1和k-µ2-1的任意多项式.

证明（1）当m-n+1≤k≤µ1时，由式（11）及约定可知dk=0，即Nk=0.

（2）当µ1+1≤k≤µ2时，可分两步完成证明.

当k=µ1+1时，由Δk的定义及式（15）可知

即dimNµ1+1=1.因此，设Nµ1+1=｛Q1（λ）｝.

当µ1+1＜k≤µ2时，由式（14）和（15）可得

结合引理3，可知

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则

式中，q1（λ）是次数不高于k-µ1-1的任意多项式.

（3）当µ2+1≤k≤m+n时，与µ1+1≤k≤µ2时的情形类似，同理可证.

定理2设满足式（7）的所有（m/n）Ff（s，λ）中的分母多项式组成的集合为｛Qm，n（λ）｝，则

定理1中的Q1（λ）就是｛Qm，n（λ）｝中次数最低的分母多项式.

证明对式（7）的系数矩阵Tm+1进行讨论.

由式（18）及定理1可知，

3　分母次数最低的的计算步骤及数值实例

3.1计算步骤

步骤1由式（10）写出关于幂级数f（s，λ）的Toeplitz矩阵Tm.

步骤2计算上、下临界值µ1=m-n+u，µ2=m+n-u+1，其中u=rank Tm.

步骤3由定理1可知，dµ1+1=1，可设齐次线性方程组Tµ1+1x=0的解为｛η｝，其中η=（q0，q1，···，qµ1-m+n）T，从而得到定理2中的次数最低的分母，即

3.2数值实例

考虑如下第二类Fredholm积分方程：

该方程的积分核K（s，t）=sin（s+t），其准确解为

因为m=n=4，所以可由式（6）写出Toeplitz矩阵：

由u=rank T4=2，可得上、下临界指标µ1=2，µ2=7.

由式（10）写出Toeplitz矩阵：

通过式（8）得到如下分子表达式：

最后，不难得出

4　结束语

通过上述的数值实例可以发现，因为detH（y1）=0，所以文献［4］中的4阶函数值Padé-型逼近是不存在的.而本工作不但较好地解决了此类问题，并且数值实例的结果表明积分方程的逼近解与准确解完全相同.接下来将要探讨的是如何将本方法推广应用到奇异的阿贝尔积分方程求解中.

［1］Brezinski C.Padé-type approximation and general orthogonal polynomials［M］.Basel：Birkh¨auser Verlag，1980.

［2］Baker G，Graves-Morris P R.Padé approximants［M］.London：Cambridge University Press，1997.

［3］Gu C Q，Li C J.Computation formulas of generalised inverse Padé approximant using for solution of integral equation［J］.Applied Mathematics and Mechanices：English Edition，2001，22（9）：1057-1063.

［4］潘宝珍，顾传青.用于积分方程解的函数值Padé-型逼近的代数性质和收剑性定理［J］.上海大学学报：自然科学版，2005，11（3）：269-274.

［5］Ibryaeva O L，Adukov V M.An algorithm for computing a Padé approximant with minimal degree denominator［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2013，237（1）：529-541.

［6］Gu C Q，Pan B Z，Wu B B.Orthogonal polynomials and determinant formulas of functionalvalued Padé-type approximation using for solution of integral equations［J］.Applied Mathematics and Mechanices：English Edition，2006，27（6）：853-860.

［7］Graves-Morris P R.Solution of intergral equations using generalised inverse，function-valued Padé approximantsⅠ［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，1990，32（1）：117-124.

［8］Benouahmane B，Cuyt A.Multivariate orthogonal polynomials，homogeneous Padé approximants and Gaussian cubature［J］.Numerical Algorithms，2000，24（1）：1-15.

［9］Draux A.Approximants de type Padé et de Padé en deux points［M］.Lille：Universi´e des Science et Technologies de Lille，1983：1-89.

［10］张石生.积分方程［M］.重庆：重庆出版社，1988.

Function-valued Padé-Frobenius approximation using solution of integral equations of the second kind

WANG Hai-peng，PAN Bao-zhen，LIU Yong
（College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

Function-valued Padé-type approximation（FPTA）was applied to solve the Fredholm integral equations of the second kind.To avoid the constraint that the determinant of Hankel cannot equal to zero for FPTA，a definition and its construction of a function-valued Padé-Frobenius approximation（FPFA）is given.By studying the kernel structure of the Toeplitz matrix，an algorithm is presented for the function-valued Padé-Frobenious approximation with reduced denominator.Thus the application range of approximation solution of the integral equations is developed.Finally，an example is given to show effectiveness of the method.

determinant of Hankel；function-valued Padé-Frobenius approximation；Fredholm integral equation；Toeplitz matrix

O 241.83

A

1007-2861（2015）06-0717-08

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.03.020

2014-06-20

国家自然科学基金资助项目（11371243）

潘宝珍（1965—），女，副教授，博士，研究方向为数值有理逼近.E-mail：bzpan@staff.shu.edu.cn