非齐次树上马氏链的若干强偏差定理

金少华，赵旋，陈秀引

（河北工业大学理学院，天津300401）

非齐次树上马氏链的若干强偏差定理

金少华，赵旋，陈秀引

（河北工业大学理学院，天津300401）

通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究，给出了一类非齐次树上马氏链场加权和滑动平均的若干强偏差定理.

非齐次树；鞅；马氏链；强偏差定理

1　前言

树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一.文献［1］给出了树指标马尔可夫链的定义并研究了其常返性.文献［2］研究了Cayley树指标有限状态非齐次Markov链的强大数定律和渐近均分割性（AEP）.文献［3］通过利用若干重要不等式给出了树上路径过程的随机路径条件概率用不等式表示的几何平均强极限定理以及树上路径过程关于状态序偶出现频率的强偏差定理.文献［4］研究给出了m根Cayley树指标m阶有限状态非齐次Markov链的一些极限性质.文献［5］研究给出了Bethe树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差定理.文献［6］首先研究给出了双根树上二阶非齐次马氏链的强极限定理，然后研究给出了双根树上二阶非齐次马氏链几乎处处收敛意义下的Shannon-McMillan定理.本文通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究，研究给出了一类非齐次树上马氏链场加权和滑动平均的若干强偏差定理.

设T是一个具有根顶点o的无限树，｛Nn，n≥1｝是一正整数集，如果第n（n≥0）层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻，称T为广义Bethe树或广义Cayley树.特别地，若对非负整数集N，用模m（m≥2）的同余关系对其分类得到模m的剩余类：

当n∈（i）时，令Nn+1=αi（αi均为正整数且不同时为1），i=0，1，2，···，m-1，就得到了一类特殊的非齐次树Tα0，α1，··，αm-1.

以下恒以T表示树Tα0，α1，··，αm-1，以Ln表示第n（n≥0）层上所有顶点的子图，Tn表示从o顶点到第n层上所有顶点的子图.s（t）表示顶点t的所有子代的子图.

定义1.1｛Xσ，σ∈T｝是定义在概率空间｛Ω，F，P｝上的取值于连续状态（R+，β（R+））的随机变量族，设

定义1.2设0≤a1≤a2≤···是一整值数列，随机变量族｛Xσ，σ∈T｝在测度P、Q下的联合分布密度函数分别由（5）式、（6）式定义，

2　主要结果

设c为一非负常数，令

定理2.1设｛Xσ，σ∈T｝为为具有初始分布（1）与正则条件概率族（2）的在R+上取值的连续状态树指标非齐次马尔可夫链，它在F的另一概率测度Q下的联合分布密度函数由（6）式定义.Ln（ω）及φn（ω）分别由（7）式与（8）式所定义，｛al，l≥1｝，H（c）和｛Wn，n≥1｝如前定义.设存在M＞0，使得

定理2.2设｛Xσ，σ∈T｝为为具有初始分布（1）与正则条件概率族（2）的在R+上取值的连续状态树指标非齐次马尔可夫链，它在F的另一概率测度Q下的联合分布密度函数由（6）式定义，Ln（ω）及φn（ω）及H（c）分别由（7）式、（8）式与（10）式所定义，常数c满足

3　主要结果的证明

为了证明的需要，先给出如下引理：

引理3.1设｛Xσ，σ∈T｝为具有初始分布（1）与正则条件概率族（2）的在R+上取值的连续状态树指标非齐次马尔可夫链，0≤a1≤a2≤···是一整值数列，｛Wn，n≥1｝为一正数数列，f（XTn），g（XTn）如前定义，

因为P（A（λ∗∗））=1，故由（33）式知（14）式成立.

仿照（27）式的证明知，当c=0时，（14）式也成立.

［1］Benjamini I，Peres Y.Markov chains index by trees［J］.The Annals of Probability，1994，22（1）：219-243.

［2］Dong Y，Yang W G，Bai J F.The strong law of large numbers and the Shannon-McMillan theorem for nonhomogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］.Statist.Probab.Lett.，2011，81（12）：1883-1890.

［3］韩大钊，石志岩，杨卫国.树上路径过程的随机路径条件概率的强极限定理［J］.数学杂志，2015，35（2）：462-468.

［4］Shi Z Y，Yang W G.Some limit properties for the m-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by an m rooted Cayley tree［J］.Statistics and Probability Letters，2010，80（15）：1223-1233.

［5］Yang W G.A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］.Stochastic Analysis and Applications，2012，30（2）：220-237.

［6］石志岩，韩大钊，杨卫国.双根树上二阶非齐次马氏链的强大数定律和Shannon-McMillan定理［J］.应用概率统计，2015，31（2）：125-134.

A class of strong deviation theorems for Markov chain fields on a non-homogenous tree

Jin Shaohua，Zhao Xuan，Chen Xiuyin

（College of Science of Hebei University of Technology，Tianjin300401，China）

In this paper，through constructing a non-negative martingale and applies Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence，a class of strong deviation theorems of moving averages of weighted sums for Markov chain fields on a non-homogenous tree are given.

non-homogeneous tree，martingale，Markov chains，strong deviation theorem

O211.4

A

1008-5513（2015）06-0551-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.001

2015-06-07.

河北省高等学校科学技术研究项目（ZD2014051）.

金少华（1965-），博士，教授，研究方向：概率论极限定理.

2010 MSC：60B12