三维复数基础知识研究

鲍祥平

【摘 要】为了对数学有个深入的认识，并且不断扩大认知领域，不但完善数学知识，在这里和大家共同研究复数的三维基本知识，为三维复数研究打好基础，同时敲开超复数大门。

【关键词】三维复数表达式；复数四则运算；复数指数形式；超复数（四元数）；求导

一、四维空间

二维复数可由数对（x，y）表示，同理三维复数可表示成（x，y，z），这里z属于复数，通常记为实数形式（在三维空间里x，y，z的模相同可视为同一三维复数）由图 ⑴（x，y，z）=[（x，y）+（z，y）+（x，z）]/2，（x，y，z）=[﹙x，y），z]=x+yi+zj，（当然还可以有其它组合，只取其一。）x+yi为二维复数，zj作为一个数轴与之对应必须具有双重性质，即代表复平面，又可以视为数轴。为了很好的了解zj轴，先分析四维空间及超复数：四维空间的坐标轴两两相互垂直，以两根轴为一组形成两个正交的平面（复平面），经过同一原点o并且其中一平面里任意一条经过或不经过原点的直线垂直另一平面。我们把式子Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚，（Z，Z1，Z0，Z0′都为二维复数）称为超复数的表达式，与四元数有所不同。在二维复数里，复数Z是以实数R为模进行旋转对应得到复数Z，而超复数是以复数Z为基准进行旋转得到超复数Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚=（Z?+Z1?）?Z/（Z?+Z1?）?+j（Z?+Z1?）?Z1/（Z?+Z1?）?。因Z与Z1正交，且过一平面上的一点（原点）只能作一条直线与之垂直，所以可以视Z1平面浓缩在zj轴中，那么我们把Zcosβ+jZ1sinβ）中的第一项分成两项的合Zcosβ=Rcosαcosβ+iRsinαcosβ，第二项jZ1sinβ归并为一项，它就可以作为一个三维复数Rcosαcosβ+iRsinαcosβ+jR（cosα1+isinα1）sinβ进行研究了，并且有Z+jZ1=Z′cosβ+jZ1′sinβ=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚=[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?（Z′cosβ）/[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?+j[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?（Z1′sinβ）/[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?。超复数满足四则运算，分配律，结合律等。

图 ⑴

二、三维复数三角式

我们把式子Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）=Zcosβ+jZ1sinβ与三维坐标里的点s对应（如图一），称其为全面表达式，这个表达式对应着超复数Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚的三角式。当Z≠Z1时称异步对应，当Z=Z1，（R=R1）称同步对应，因此同一三维复数对应着不同的三角函数表达式，并且经过某个数学运算后其结果不一定是同一复数。因此在三维空间里Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ=Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα1+isinα1）=x+yi+zj表示同一三维复数的不同三角形式，那么在三维空间里式子Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）就不能通用，有必要时转化成通用运算式进行计算，而表达式Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）一般由Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα+isinα）做函数变换时用到，如求偏导数，所以不做特别注明时通常运算式用Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα+isinα）=Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ，以免出现多个不同的结果。

三、指数形式

对于超复数的指数ez1+jz2=ex1+iy1+jz2=ex1cosz2（cosy1+isiny1）+jex1sinz2（cosy1+isiny1），当z2是是实数时，我们把它当做三维复数的指数形式。令f（x+yi+zj）=ex+yi+zj=excosz（cosy+isiny）+jexsinz（cosy+isiny），z为实数。我们把形如ex+yi+zj称为三维复数的通用指数形式，它是超复数指数式特例。

四、求导

知道了三维复数的四则运算，知道了其指数形式，那么三维复变函数最终可以化为有关x，y，z三个变量的函数式子，可以分别对其变量求导。例如：f（x+yi+zj）=（x+yi+zj）?，f′（x+yi+zj）=fx（x+yi+zj）=fy（x+yi+zj）=fz（x+yi+zj）=[（x+yi）?-（x1+y1i）?]/j（x1+y1i）+j2（x+yi）（x1+y1i）/j（x1+y1i）=2（x+yi+zj），这里j（x1+y1i）=jz，因为三维空间坐标轴Z对应的是复数。

五、四则运算

（x1+y1i+z1j）+（x2+y2i+z2j）=（x1+x2）+i（y1+y2）+j（z1+z2），不做特别说明三维复数加法只做这类运算，减法类似。

做乘法运算这里主要讨论Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）中R=R1，α=α1的情形，通常三维复数的代数运算指的就是这一类型。以Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα1+isinα1）这种表达式进行代数运算不常见，一般作函数变换先考虑同步运算再考虑异步变换，四则运算以同样方式进行，参考上面求导。[R1cosα1cosβ1+iR1sinα1cosβ1+jR1（cosα1+isinα1）sinβ1][R2cosα2cosβ2+iR2sinα2cosβ2+jR2（cosα2+isinα2）sinβ2]=R1R2cos（α1+α2）cos（β1+β2）+iR1R2sin（α1+α2）cos（β1+β2）+jR1R2[cos（α1+α2）+isin（α1+α2）]sin（β1+β2）==R1R2cos（α1+α2）cos（β1+β2）+iR1R2sin（α1+α2）cos（β1+β2）+jR1R2sin（β1+β2），除法类似。