芯层宽度对矩形波导有效折射率的影响

潘继环，张元文

(河池学院 物理与机电工程学院，广西 宜州 546300)

0 引言

矩形波导是条形波导中最常见的也是最基本的波导结构，通常是由金属材料(铜、铝等)制成矩形截面、内部填充空气介质的金属波导[1－3]。而矩形波导在传导电磁波的过程中具有损耗低、电磁屏蔽性能好等优点，在微波通信设备领域有着非常广泛而巨大的应用价值，如在通信传输线平面集成化、小型化等方面具有重要的应用[1－12]，近年来有关波导的研究一直是各国物理学者研究的热点之一。

通过查询相关文献资料发现，对于一维结构的条形平板波导已经有很多的研究报道[4－12]，而有关矩形波导的研究还比较少见，虽然矩形波导也属于一维平板结构，但研究其芯层导波特性时需要考虑两个方向在其横截面上对光场的限制作用，这就涉及到一维结构的二维问题，这类问题的处理比条形平板波导更为复杂。

基于此，本文主要采用马卡梯里假设[7]，对波导进行近似处理的方法，并通过Matlab编程模拟绘制芯层宽度对有效折射率的影响，找出波导孔径对矩形波导模式特性影响的规律，使矩形波导具有更广泛的应用前景。

1 模型及计算方法

1.1 矩形波导结构

矩形波导结构模型[4－10]的横截面，如图1所示，将截面分成九个区，中间为波导芯层，紧邻芯层的四个白色区域为波导包层，四个阴影区域为角区。其中波导芯层的x方向和y方向的宽度分别为a、b，选取芯层的中心为原点建立直角坐标系，z轴垂直于纸面向里，并定义电磁波沿着z轴方向传播。其中参数λ0=1.55 μm，折射率 n1=1.5，n2=n3=n4=n5=1.2。

研究方法使用马卡梯里法。因为马卡梯里法考虑到如果离截止点比较远，则光能量高度集中在芯区，透入到2、3、4、5四个区的光能就很少，而四个阴影的角区中光能忽略不计，这样可以使问题大大简化。利用这一条合理而又巧妙的假设，很容易利用已解三层平板波导的结果来求解传播常数和模场函数。

图1 矩形波导横截面图

1.2 特征方程的计算

从麦克斯韦电磁波方程组可以推出，矩形波导Eymn导模的磁场分量Hx0(x，y)的波动方程为

则φx(x)、φy(y)满足横向亥姆霍兹方程，即

方程(2)，(3)中的kix，kiy分别表示5个区域的传播系数。而方程(2)，(3)的通解分别为

式中 A、A3、A5、B、B2、B4、ζ、η 为积分常数，为各自区域的振幅因子，ζ与 η 是相位因子。

在Eymn导模x轴方向中，在处，利用 φx(x)连续和连续的边界条件以及在处，利用φx(x)连续和连续的边界条件，即可求解特征方程。

方程(6)、(7)中m、n为x轴和y轴方向的模阶数。将式分别代入方程(6)和方程(7)，得到有效折射率与芯层宽度的关系为

2 计算结果和分析

2.1 芯层宽度a对有效折射率Nx的影响

图2 导模x轴向的传输曲线

矩形波导各层介质的参数见1.1小节，取模阶数为m=0～5时，对方程(8)利用Matlab编程模拟，绘制出各模式有效折射率Nx与芯层宽度a的关系，如图2所示。

从图2中不难看出，随着芯层宽度的增大各模式有效折射率均出现衰减现象，宽度a＞0.4 μm时，波导支持m1≥1的多模传输，且各模式折射率随着芯层宽度的增大而下降，而有效折射率Nx曲线向大孔径方向移动。即当a=0～8 μm增大时，零阶模对应的有效折射率由0.9衰减到0.0907左右，一阶模式的有效折射率从2衰减到0.1813，二阶模从2衰减至0.2718，三阶模从 2衰减至 0.3620，四阶模从 2衰减至0.4520，五阶模从2衰减至0.5415。这些衰减现象主要是随着波导孔径的增大，模式出现衬底辐射，从而使其能量损耗所致。值得注意的是，芯层宽度a在0～8 μm范围内，零阶模的有效折射率均小于0.9，因此该结构波导在x轴向上不支持零阶模的传输，所以零阶模的波导中主要以衬底辐射的方式逐渐损耗能量。

电磁波能在芯层中传导的条件是在有效折射率1.2＜Nx＜1.5之间，因此芯层宽度无论小到什么程度，零阶模(基模)均不满足传导的条件，因此该矩形波导不支持基模的传输。高阶模式中，随着模阶数的增大，导模的区域也会增大。

从图2中还可以看到，每一条传输曲线中都存在一个凹点，这些凹点对应的有效折射率值相同，该处为导模的截止点，也称作导模和空间辐射模的交界点。

2.2 芯层宽度b对有效折射率Ny的影响

同样，矩形波导各层介质的参数见1.1小节，当模阶数为n=0～5时，对方程(9)利用Matlab编程模拟，绘制得到芯层宽度b和有效折射率Ny的关系，如图3所示。

从图3中可知，芯层宽度b＞0.4 μm时，波导也支持n1≥1的多模传输，且各模式折射率随着芯层宽度的增大而下降，有效折射率Ny曲线同样也向大孔径方向移动。即当b=0～8 μm增大时，零阶模对应的有效折射率由2衰减到1.2处后中断、再从0.9衰减到0.0928左右，一阶模式的有效折射率从2衰减到0.1813，二阶模从2衰减至0.2780，三阶模从2衰减至0.3702，四阶模从 2衰减至 0.4619，五阶模从 2衰减至0.5528。

在有效折射率1.2＜Ny＜1.5之间的区域，波导同样不支持基模的传输。而在同一模式阶数中，y轴向的有效折射率Ny呈衰减的趋势，并且随着模阶数的增大，导模的区域也会随着增大。

图3 导模y轴向的传输曲线

在图3中同样也存在凹点，即导模和空间辐射模的交界点。并且还发现，每条传输曲线的导模区域存在一个折弯处，该处的有效折射率接近包层折射率，这说明该点很可能为导模的截止点。而有效折射率大于对应的截止点的区域为该模式的截止区域，该模式的截止区域会由低一级阶模式的截止区域进行补偿，形成一条完整的模式传输曲线。如五阶模由四阶模的截止区域“补偿”组成新的传输曲线;四阶模由三阶模的截止区域“补偿”组成新的传输曲线，以此类推。而零阶模由于没有更低一阶模式的截止区域“补偿”，即零阶模只存在空间辐射模，且零阶模不可导。

3 结论

上述是采用马卡梯里近似法，并利用电磁波动理论，求解矩形波导模式特征方程，研究了芯层宽度对矩形波导有效折射率的影响规律，得出以下结论:当矩形波芯层宽度足够大时，矩形波导支持多个导波模式的传输，且随着模阶数的增大，两个独立分量有效折射率Nx和Ny的曲线均向大孔径方向移动;且两个分量所有模式的有效折射率均随芯层宽度a或b的增大而下降，这些影响规律对矩形波导的实际应用具有一定的理论指导意义。

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