恭祝杨世明（杨之）老师80岁大寿

王方汉

由A，B不同时为0，不妨B≠0，

易知下列方程组同解（注：下面不作特殊说明，都指实数解），

f1（x，y）=0，

Ax+By+C=0，f1（x，-ABx-CB）=0，

Ax+By+C=0，…（*）

方程f1（x，-ABx-CB）=0的任一解x代入Ax+By+C=0中，都得到唯一的y值，因此该方程解的个数与方程组（*）解的个数相等.方程f1（x，-ABx-CB）=0的解是曲线C1和直线l交点的横坐标，若该方程是二次方程，则可以用判别式研究它解的个数，进而知道曲线C1和直线l交点个数，当然在该二次方程有解的情况下，也可以用韦达定理解题.

值得注意的是，下列方程组一般不同解，是推出关系，

f1（x，y）=0，

Ax+By+C=0，f1（x，-ABx-CB）=0，

f1（x，y）=0.

举例：x2+y2=1与x+y-1=0联立，消去y得x2-x=0，有

x2+y2=1，

x+y-1=0，与x2-x=0，

x+y-1=0，同解，

但x2+y2=1，

x+y-1=0，与x2-x=0，

x2+y2=1，不同解.

若f1（x，y）=0与f2（x，y）=0联立消元后，可以得一元二次方程mx2+nx+k=0，易知下列方程组同解，

f1（x，y）=0，

f2（x，y）=0，mx2+nx+k=0，

f1（x，y）=0，

f2（x，y）=0，（**）.

一般地，方程组（**）中f1（x，y）=0与f2（x，y）=0都不可少，比如：

由x2+y2=1和x2+y2-x-y=0联立，消去y可得：x2-x=0，

但x2+y2=1，

x2+y2-x-y=0，与x2-x=0，

x2+y2=1，并不同解.

若方程mx2+nx+k=0无解，则方程组（**）无解；若方程mx2+nx+k=0有解，由该方程解的个数并不能判定方程组（**）解的个数，因为将该方程的任一解x代入f1（x，y）=0，

f2（x，y）=0，中，可能得到0或1或2个y值，举例如下，

由x2+y2+2x=0和y2=x联立，消去y得：x2+3x=0，x=0对应的y值为0，x=-3对应的y值不存在.

由x2+y2-2x=0和y2=x联立，消去y得：x2-x=0，x=0对应的y值为0，x=1对应的y值为±1.

通过前面的分析可知，在方程mx2+nx+k=0有解的情况下，有的解有意义（可以得到对应y的实数解），它是两二次曲线交点的横坐标；有的解没有意义（没有对应y的实数解，只有虚数解），它不是两二次曲线交点的横坐标.因此在该方程有解的情况下，不能仅用判别式来研究两个二次曲线交点的个数，也不能用韦达定理来研究两个二次曲线交点的相关问题（除非该方程的两个解x都有意义，才可以使用韦达定理）.

若f1（x，y）=0与f2（x，y）=0联立消元后，得到关于y的一元二次方程my2+ny+k=0，情况类似.

涉及两二次曲线交点的问题，下面举一例说明.

例2椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是32，过坐标原点且斜率为12的直线l与椭圆C相交于A、B两点，|AB|=210.

（1）求a，b的值；

（2）若动圆（x-m）2+y2=1和椭圆C没有公共点，求m的取值范围.

解答（1）a=4，b=2.过程略.

（2）由x216+y24=1，

（x-m）2+y2=1，……①

消去y得，3x2-8mx+4m2+12=0，…②

令f（x）=3x2-8mx+4m2+12，

Δ=16m2-144，

由题意可知，

Δ<0或Δ≥0，

4m3<-4，

f（-4）>0或4m3>4，

f（4）>0.

解得m∈（-∞，5）∪（-3，3）∪（5，+∞）.

评注：若Δ<0，则方程组①无解；

若Δ≥0，则方程②的x有实数解，将x的实数解代入方程组①中的任一方程，得到的y的解的情况是一致的，比如代入x216+y24=1中，当x∈[-4，4]时，y有实数解，可以认为得到实交点；当x[-4，4]时，y有虚数解，可以认为得到虚交点.

基于上面的分析，动圆和椭圆没有公共点当且仅当关于x的方程②无实数解，或有实数解但解在区间[-4，4]外.

作者简介刘鸿春，男，1976年生，中教一级，扬州市中青年教学骨干.