浅析高等数学教学难点二重积分的计算

关璐

（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特　010070）

浅析高等数学教学难点二重积分的计算

关璐

（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特010070）

0　引言

随着现代科技的发展，数学在各个研究领域越来越受到人们的重视。而高等数学是大学数学课程的基础。高等数学这门课程在大部分的学校都是在大一时开设的，由于学生初次接触高等数学这样复杂、抽象的数学课程，会感觉到高等数学难、枯燥，特别是二重积分的计算这部分知识，很多学生感觉到计算方法本身太难理解，从而渐渐的失去了学习兴趣。因此，结合多年教学实践经验，针对高等数学教学中二重积分的计算提出一些教学方案，对提高高等数学课程教学质量，培养学生学习兴趣具有重要意义。

1　利用定义计算二重积分

二重积分的定义为：

设f（x，y）是定义在有界区域D上的二元函数，将D任意分成n个小区域

在每个小区域Di中任取一点（ζi，ηi），作积分和

其中，D称为积分区域，f（x，y）称为被积函数，dσ称为面积元素。此时也称函数f（x，y）在D上可积。

因此，在给学生们介绍了定义之后，重点介绍在直角坐标系下和极坐标系下的二重积分的计算。

2　在直角坐标系下计算二重积分

明确了这些之后就可以和学生一起建立在直角坐标系下计算二重积分的步骤：

（1）画草图用阴影表示积分区域D；

（2）确定累次积分的顺序（主要依据被积函数和积分区域）；

（3）写出积分区域D所确定的x，y的范围（先写后积分变量的范围即常数范围）；

（4）转化为累次积分计算。

建立了解题步骤，就要通过由浅入深的例题帮助学生理解和掌握直角坐标系下二重积分的计算。下面举一个比较典型的例子。

解：首先画图，如图1所示。此处注意要求学生一定要将积分区域用阴影表示出来。

图1

其次，确定累次积分的顺序，这一步是最关键的，也是最难的。假设先对y后对x积分，就得将积分区域D分为图中D1，D2两部分，因为在进行下一步时，

如果换一个顺序，假设先对x后对y，则将D看作一部分就可以了。因为在进行下一步时D=｛（x，y）|y2≤x≤y+2，-1≤y≤2｝。

对于积分区域当然是划分的块数越少，计算越方便。在被积函数中x和y地位一样。因此，由积分区域决定了积分的顺序为先对x后对y进行积分。

3　在极坐标系下计算二重积分

明确了这些之后就可以和学生一起建立在极坐标系下计算二重积分的步骤：

（1）画草图用阴影表示积分区域D；

（2）累次积分的顺序为先r后θ，写出积分区域D所确定的r和θ的范围（先写θ范围）；

（3）将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分；

（4）转化为累次积分计算。

建立了解题步骤，同样需要通过由浅入深的例题帮助学生理解和掌握极坐标系下二重积分的计算。下面同样举一个比较典型的例子。

图2

学习了以上这两种计算方法之后，学生自然要问，遇到一个二重积分的计算问题，应该用哪种方法？当然要结合两种方法的特点来选择。如果被积函数包括等式子，而且积分区域为圆或圆内的一部分，则用极坐标计算，否则，在直角坐标系下计算就可以了。

4　结语

二重积分这部分内容既是高等数学的教学难点也是重点，学生在学习这部分知识的过程当中可以培养他们的分析问题和解决问题的能力。因此，每一位教师都应该认真思考，不断总结如何讲解这部分内容，从而让学生不仅在知识而且在能力等各方面有所提高。

［1］林承初.二重积分的计算方法与技巧［J］.广西财经学院学报，2006（19）:336～338

［2］辛春元.二重积分的计算方法［J］.现代商贸工业，2010（15）:376～377

［3］甄海燕.二重积分的计算方法［J］.山东商业职业技术学院学报，2012（05）:86～88

［4］李烨.二重积分的积分区域选择技巧［J］.产业与科技论坛，2012（08）:206～207

［5］刑华，高娃.微积分［M］.上海:复旦大学出版社，2012.

Double Integral；Repeated Integral；Definite Integral

The Calculation of Double Integral in the Teaching of Higher Mathematics

GUAN Lu
（College of Statistics and Mathematics，Inner Mongolia Finance and Economics University，Hohhot 010070）

1007-1423（2015）25-0007-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.25.002

关璐（1981-），女，内蒙古乌兰察布人，硕士，讲师，研究方向为图的代数结构、连续介质力学等

2015-06-11

2015-09-01

二重积分实质上是指二元函数的定积分，二重积分以一元函数定积分为基础，但是难度却大大增加。因此学生常常感觉到二重积分的计算较难掌握。结合多年的教学经验，针对二重积分计算部分的学习提出一些相应的教学方案。

二重积分；累次积分；定积分

Double Integral essentially means definite integral binary function，double integral in one variable definite integral basis.But the difficulty is greatly increased.Therefore，students often feel difficult to master double integral computing knowledge.Combined with years of teaching experience，for the calculation of the double integral part of the knowledge of learning，put forward some teaching programs.