双螺杆泵螺杆成型铣刀廓形求解及验证

王建，董黎敏，刘天航，史津平，郭津津，杨妙妙

(天津理工大学复杂系统控制理论及应用重点实验室，天津300384)

双螺杆泵螺杆成型铣刀廓形求解及验证

王建，董黎敏，刘天航，史津平，郭津津，杨妙妙

(天津理工大学复杂系统控制理论及应用重点实验室，天津300384)

根据双螺杆泵螺杆螺旋面端面截形型线方程，利用成形铣削原理和坐标变换理论，从成形铣刀与螺杆工件的相对运动关系出发，建立基本的铣刀刀刃廓形方程。利用Matlab软件对设计刀具过程中的三角超越方程等非线性方程进行求解，得到铣刀回转面轴截形，然后以铣刀回转面轴截形为已知条件，反求螺杆螺旋面端截形，验证铣刀廓形求解方法的正确性。

成型铣刀;螺杆;廓形;反求

0　前言

双螺杆泵螺杆成型铣刀属于复杂刀具，其设计过程异常复杂，其中铣刀廓形的求解是最为关键的一步。目前，关于加工螺杆的成形铣刀研究较多，对成形铣刀所加工的螺杆转子研究较少。本文应用Matlab软件对求解铣刀廓形以及反求工件端面截形过程中的复杂数学关系式进行求解［1］，并给出了计算实例。

1　工件坐标系与刀具坐标系的建立

可转位成形铣刀加工螺杆时，螺杆与铣刀的相对位置如图1和图2所示，在工件上建立坐标系o1－x1y1z1，单位矢量为(i1，j1，k1)，在刀具上建立坐标系o2－x2y2z2，单位矢量为(i2，j2，k2)。工件与刀具之间安装中心的距离为a，安装角为ψ。

图1　工件坐标系与刀具坐标系相对位置Fig.1 Relative position of cutter and workpiece coordinate system

图2　刀具加工工件螺旋面Fig.2 Helicoid surface of workpiece being cutted

工件坐标系与刀具坐标系的转换式为

单位矢量间的转换式为

2　刀具回转面与工件螺旋面的接触条件式推导

空间中任意一点M相对于工件坐标系原点的径矢r为

M点相对于刀具坐标系原点的径矢R为

M点相对于刀具坐标系原点的径矢R与相对于工件坐标系原点的径矢r之间的关系为

设工件角速度为ω1，螺旋参数为p，刀具的角速度为ω2，M点随工件螺旋面运动时的线速度v1为

M点随刀具回转面运动时的线速度v2为

则M点处的相对运动速度v12为

在工件螺旋面和刀具回转面的接触点处，其公共法线矢量n与相对运动速度v12垂直，所以接触条件式为

即刀具回转面和工件螺旋面的接触线应满足的基本条件式

3　已知工件螺旋面端截形求刀具回转面轴截形

3.1已知工件螺旋面端截形型线方程推导工件螺旋面与刀具回转面接触条件式

若工件螺旋面端截形型线方程已知，根据工件螺旋面方程式可求得其上任意一点的法线n，从刀具坐标系的原点o2向螺旋面上的点作径矢R，如果R和螺旋面上该点的法线n以及刀具的轴线k共面，则这一点就是螺旋面上的接触点［3］，所以工件螺旋面上的接触线条件式成为

设铣刀所加工的螺杆螺旋面端截形的型线方程式为

式中，t为齿曲线参数。

由式(14)可以得到螺旋曲面的方程为

式中，τ为角度参数，表示母线绕z轴转过的角度。

由微分几何知识可知，曲面上任意一点M (x，y，z)的法线矢量可以表示为

式中，nx、ny、nz分别是曲面法线矢量的各轴分量。

联立式(4)式(7)式(13)式(17)得到在已知工件螺旋面端截形条件下工件螺旋面与刀具回转面之间的接触条件式为

3.2铣刀回转面轴截形求解计算实例

将齿形参数t离散化为ti得一系列离散点(xi，yi)，将(xi，yi)代入螺旋曲面方程求得螺旋面离散点坐标(x1i，y1i)，再将(x1i，y1i)与各点处一阶导数代入到接触方程式，选取适当的迭代初值，利用Matlab软件采用牛顿迭代法对接触线方程进行迭代运算，求得工件端面上各点成为接触点时需要转过的角度τ;然后将坐标值(xi，yi，zi)与此点处的旋转角τ代入螺旋面方程式，可以得到螺旋面上接触点的坐标(x1，y1，z1)，再将(x1，y1，z1)代入到坐标系变换式，得到接触点在刀具坐标系内的坐标(x2，y2，z2);最后由刀具回转面轴截形方程式(21)求得刀具回转面的轴截形。

铣刀所加工的螺杆转子参数如下:导程T为150 mm，转子的齿顶圆直径为400 mm，分度圆直径为305 mm。中心距A=(0.7～1.5)D0，此处取A=D0(D0是工件的名义外直径)。安装角ψ选择范围比较大，一般可按ψ=90°－β选择安装角(β是工件外圆螺旋角)。工件螺旋面端截形如图3所示，所求得的铣刀回转面轴截形如图4所示。

图3　工件螺旋面端截形Fig.3 Cross section profile ofworkpiece helicoid

图4　铣刀回转面轴截形Fig.4 Axial section of cutter revolution surface

4　由刀具回转面轴截形反求工件螺旋面端截形

4.1已知刀具回转面轴截形推导工件螺旋面与刀具回转面接触条件式

以求解出的刀具回转面轴截形为已知条件反求工件螺旋面端截形，根据刀具回转面的方程式可以求得其上任一点的法线n，由工件坐标系的原点o1向刀具回转面上的点作径矢r，如果这一点绕工件轴线作螺旋运动时的线速度矢量和回转面在该点的法线垂直，则这一点就是回转面上的接触点，所以刀具回转面上的接触线条件式成为

与铣刀固连的坐标系o2－x2y2z2如图5所示。

图5　刀具回转面坐标系Fig.5 Coordinate system of cutter revolution surface

当截形以未知曲线上的离散点表示时可以用曲线的一般形式来表示［2］

式中，si为弧长，i=1，2，…，n。由弧长微分可得

式中，αi为曲线上点的切线与x轴的夹角。

用盘形刀具加工时，刀具回转面母线是平面x2y2z2上的一条曲线，按式(21)可以表示为

式中，φ为刀具回转面母线弧长参变数。刀具回转面方程式可以表示为

式中，φ为半径R与o2x2z2平面的夹角。

通过工件坐标系与刀具坐标系的相互转换，可以得到刀具回转面在工件坐标系o1－x1y1z1中的方程式为

则刀具回转面上任意一点各轴的法线矢量为

联立式(3)式(7)式(20)式(26)得到在已知刀具回转面轴截形条件下刀具回转面与工件螺旋面之间的接触条件式:

4.2工件螺旋面端截形的求解计算实例

通过接触线方程可以得知，要想求φ则需先求出α，即铣刀廓形各离散点的倾斜角。本文利用Matlab软件采用累积三次参数样条法来计算各离散点处倾斜角α，然后将α代入接触条件式，采用割线法求出φ。再将铣刀回转面轴截形离散点坐标及相应的代入工件螺旋面的方程式求出铣刀回转面轴截形对应的工件螺旋面端截形坐标，最后绘出工件螺旋面端截形，如图6所示。

图6　反求的工件螺旋面端截形Fig.6 Reversing cross section profile of workpiece helicoid

5　结论

本文以右旋螺旋曲面为例，利用齿轮啮合原理的相关知识，根据已知的螺杆螺旋面端截形型线方程，采用牛顿迭代法求解刀具回转面与工件螺旋面的接触线方程，最后求解出刀具回转面轴截形。以求解出的刀具回转面轴截形为已知条件，采用累积三次参数样条法和割线法求解工件螺旋面与刀具回转面的接触线方程，最后反求出工件螺旋面端截形，验证铣刀廓形求解方法的正确性，对可转位成形铣刀的实际设计具有指导意义。

［1］王小明，罗芝华，杨志，等．基于Matlab的双螺杆压缩机转子盘铣刀数字化设计方法［J］．机床与液压，2012，40(15):84－86，114．

［2］张光辉，魏静，王黎明．基于离散点截形螺旋面加工原理研究加工原理研究［J］．中国机械工程，2007，18(10):1178－1181．

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［4］丁毓峰等．MATLAB从入门到到精通［M］．北京:化学工业出版社，2011．

［5］王正林，龚纯，何倩．精通MATLAB科学计算［M］．北京:电子工业出版社，2009．

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Solution and verification on profile of formed m illing cutter of tw in-screw pump's screw

WANG Jian，DONG Li-min，lIU Tian-hang，SHIJin-ping，GUO Jin-jin，YANG Miao-miao
(Tianjin Key Laboratory for Control Theory＆Applications in Complicated Systems，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China)

According to lines equation of transverse profile of twin-screw pump's screw helicoids，from the relative kinematic relation between formedmilling cutter and screw，the basic profile equation of formedmilling cutter was established bymoldingmilling principles and coordinate transformation theory．Using Matlab software to solve nonlinear equation，such as trigonometric functions in the process of designing the milling cutter，the axial section profile of themilling cutter revolution surface was obtained，and itwas taken as known condition，used for reversing transverse profile of screw helicoids．So the validity of this solution method was verified．

formed milling cutter;screw;profile;converse solving

TG714

A

1001－196X(2015)02－0056－04

2014－06－20;

2014－08－19

天津市科技计划项目(11ZCKFGX03700)

王建(1988－)，男，天津理工大学硕士研究生，研究方向:机械设计及理论等。