浅析高等代数多项式理论的教学

张孝金　杨兴东　昝立博

摘 要： 高等代数是数学专业学生的一门基础课，它在学生的数学学习中起着至关重要的作用.但其中的多项式理论因极强的抽象性令众多同学非常苦恼.本文从整数环的角度解释高等代数中的多项式理论，通过对比学习，学生能够更好地掌握多项式理论.

关键词： 多项式 整数环 整环 素数 不可约多项式

一、引言

高等代数是数学专业学生的专业基础课之一，它强调逻辑的严密性和计算的准确性.正因为如此，它在代数学、数值计算、最优化等学科中有着重要的应用.相对于计算的准确性，逻辑的严密性让刚走进大学校门的新生倍感吃力.造成这一现象的最初原因就是多项式理论太抽象了.学生不知道这些理论从哪里来？为何会有如此多的定理？

注意到高等代数的教材中提到了多项式环的概念，并没有给出相应的解释，这给学生的学习带来一定的困扰.本文将从环论的角度重新解释多项式理论，使该理论更容易被更多学生接受.通过对比的学习，学生将能够更好地掌握多项式的互素，最大公因式，不可约多项式，以及因式分解定理.

本文共分为两部分，在第一部分，我们将回顾环的定义整环的定义及整数环的基本性质.在第二部分，我们将对照第一部分给出的有关整数环的结果给出多项式环的相关结果.

二、整环与整数环

在本节中我们将首先回顾环和整环的定义，然后给出整数环的性质.为了解决教材中的多项式环留下的疑问，我们需要给出以下定义：

定义 2.1 设R为一个非空集合，记RXR={（r，s）|r，s 为R中的元素}，设a： RXR------> R的映射使得a（r，s）=rs，则R被称为群如果a满足

（1）结合律成立，即对于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（2）左单位元存在，即存在R中的元素e使得对任意的R中的元素r ， er=r.

（3）左逆元存在，即对于R中任何的元素r存在r使得rr=e.

注记：非零有理数关于通常的乘法构成一个群.形如a的映射可以看成集合上的一种运算.

定义2.2 设R，RXR，a同上且b：RXR------> R的映射使得b（r，s）=r+s. R 被称为一个环如果 a，b满足：

（1）R关于加法构成一个ablian 群，也就是说R关于定义的′+′构成一个交换群.

（2）R关于乘法满足结合律，即对于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（3）分配率成立，（a+b）c=ac+bc； c（a+b）=ca+cb.

注记：整数集关于通常的加法和乘法构成一个环.所有的一元多项式的集合关于多项式的加法和乘法构成一个环.

为了说明我们的主要结果，给出整环的定义.

定义2.3 一个环R成为整环如果它满足：

（1）它的乘法可交换.

（2）它含有一个幺元 I，即Ia=a 对任意的R中的元素a成立.

（3）任意R中的非零元素a，b，ab≠0.

注记： 特别地，如果一个交换有幺元环R中的非零元素关于它的乘法构成一个群，则称R为域.注意域必为整环，实数域，有理数域是域，都也是整环.

为了给出本文的主要结果，下面我们回顾整数环作为整环具有的性质.

定理2.4 设R整数环，则R满足：

（1）对于任意的R中的元素m，n≠0存在q，r∈R使得m=qn+r其中0≤r

（2）对于任意的R中的元素m，n ，它们的最大公因子（m，n）存在且（m，n）=lm+pn，其中l， p 为R中的元素.

（3）对于任意素数p和任意的n， 都有p|n或者（p，n）=1.

三、一元多项式环的性质

本节中我们将研究数域P上的一元多项式环的性质.注意到P上的所有的一元多项式关于多项式的加法和乘法构成一个环P[X].下面证明P[X]是一个整环.

命题3.1 P[x]是一个整环.

证明：由定义2.3，我们只需要证明P[x]中交换有幺元且非零元之积不为零.由多项式的乘法可知，幺元为零次多项式 1且f（x）g（x）=g（x）f（x）.再由多项式乘法的定义可知若f（x），g（x）不为零，则f（x）g（x）≠0.

注意到整数环是整环，自然地问题是整环是否有类似定理2.1的性质呢？此部分近世代数将详细讲解.而多项式环也是特殊的整环，本文将考虑如下问题.

问题3.2 P[x]是否有类似定理2.4的性质？

下面我们给出高等代数第一章的主要定理.但我们不给出定理的证明，只给出如何与定理2.1对比.

定理 3.3 设P为一数域，P[x]为其一元多项式环.

对比说明：

（1）提示学生思考有没有类似定理2.4（1）的结论.然后学生考虑如何改善定理2.4（1）中的余数比较大小的问题.这里要声明多项式是没法比较大小的，但是次数是可以的.

（2）这里要提示学生对比写出类似的结论并用类似的方式证明.需要注意这里的最大公因式并不唯一，因此引进了首1的最大公因式.

（3）结合素数的定义，由学生给出对应的不可约多项式的概念，然后类似地证明相似的性质.

（4）有了（3）的引入，诱导学生自然地思考本命题的表达形式.并参考素数的证明给出证明.

四、结语

通过本文的论述，学生很容易知道这一章的所有结果不是凭空而来的，而是仿照整数环的理论类比而来的，同时学生也知道了环和域的概念.此外，关于整环上的问题3.2，给学生留下了悬念.

参考文献：

[1]北大代数组.高等代数[M].北京：高等教育出版社， 2013，1-50.

[2]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978：1-85.

致谢：感谢国家自然科学基金青年基金（11101217）及江苏省自然科学基金青年基金（BK20130983）的支持.