从一道中考题说起

陈平

从正面看到的图形称为主视图，从左边看到的图形称为左视图，从右边看到的图形称为右视图. 一般中考中三视图的题目难度不大，但是也有一些容易忽视的地方，我们来看一道中考题：

例题 （2015·呼和浩特，第9题）如图1是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（ ）.

A. 236π B. 136π

C. 132π D. 120π

【解析】本题考查的是三视图、圆柱体积和学生的空间想象能力. 但本题与以前的题目不同之处在于，没有立体图，需要学生在想象的基础上去计算圆柱的体积.

请大家注意，本题中的物体摆放处于非稳态状态——几何体可以滚动. 我们要不要去区分哪个图是什么视图吗？

答案是不用. 我们只要从三视图中发现物体的形状和位置关系，至于到底哪个图是从哪个方向观察所得并不是最主要的. 我们先从右面的视图看，是两个同心圆，再从左面上下的两个视图看，我们可以发现该几何体是两个圆柱体的组合，我们可以看成一个圆柱体摆放在另一个圆柱体的上面，也可以想象成一个圆柱体黏合在另一个圆柱体的侧面，这其实对这个几何体的体积是不影响的. 而我们要注意的是这个三视图三个图中都没有虚线，说明圆柱体没有掏空. 这样计算起来就很简单，分别算出两个圆柱体的体积即可.

大圆柱体的体积为42π×8=128π，小圆柱体的体积为22π×2=8π，所以该几何体的体积为128π+8π=136π. 故选B.

那我们来变一下题目吧. 如图2，在左面的两个视图中增加虚线，虽然按照纯理论这个几何体是做不出来的，但我们这里主要是开拓你的眼界. 我们这样修改，可以把这个题目的难度稍微升级一下，让你对这里的变化强化一下.

那么添加了虚线说明了什么？虚线说明在这个集合体的内部还存在着边线，此题中在内部的边线说明这个几何体的内部被掏空了，那么这个几何体的体积怎么求呢？

体积应该是之前算下的136π再减去一个掏空圆柱体的体积136π-32π=104π.

我们再来看看关于虚线的一些三视图中考题，首先我们来看2015年南昌第4题：

如图3是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）.

【解析】这道考题比较简单，我们可以利用三视图的定义直接判断，从左边看到的图形中，那条斜线是看得见的，所以是实线，于是得到答案C.

我们再来看2013年黄冈的一道试题：

已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图4，则其主视图为（ ）.

【解析】本题考查内容是由三视图判断几何体、简单组合体的三视图. 首先我们要根据俯视图和左视图判断该几何体，然后再去确定其主视图. 根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱，其主视图应该是矩形，而且有看到的两条棱，背面的棱用虚线表示，故选D.

本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键. 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形. 特别强调，看不见的棱一定要用虚线表示.

我们再来看2014年呼和浩特的一道中考试题：

如图5是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（ ）.

A. 60π B. 70π

C. 90π D. 160π

这道试题与例题有点相似，主要考查由三视图判断几何体.

从图形中的虚线容易判断此几何体为空心，观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内径为3，外径为4，高为10，所以其体积为10×（42π-32π）=70π，故选B.

本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是得到此几何体的形状，特别是要突出虚线在这道题中的作用.

我们在观察三视图的时候，不仅要从三视图中判断几何体的形状，确定几何体构成的位置，还要注意三视图中的细节，弄清实线和虚线所代表的意义，这样才能准确地把握题意，正确作答.

（作者单位：江苏省南师附中江宁分校）