纵横联系 化解难点

施长燕

平面图形的认识（二）它包含三个方面：一是探索直线平行的条件和性质；二是通过具体实例认识平移，探索平移的基本性质；三是学习三角形的有关概念，探索三角形内角和定理与多边形内（外）角和公式.为了帮助同学们更好的把握这章的内容，我将对本章的典型难点进行解读.

难点一：数形结合——平行的条件与性质

直线平行的条件反映的是由角的数量关系说明直线的数量关系，而直线平行的性质反映的是由直线的位置关系说明角的数量关系，这里的蕴含了数形结合思想.而学生初学直线平行的性质与条件运用起来往往出现混乱，吃不准究竟用的什么，对于这个难点下面我们结合具体例子来尝试突破.

例1 如图1，AD//BC，∠A=∠C.AB与DC平行吗？为什么？

【分析】：读题：题中有两个条件⑴AD//BC；⑵∠A=∠C.

猜想：AB与DC平行.

思考：要证AB与DC平行，根据直线平行的条件只要证∠ABC=∠C；

要证∠ABC=∠C，只要证∠ABC=∠A；根据直线平行的性质，由AD//BC，可证∠ABC=∠A.

【点评】要证两直线平行，可以去证出角相等，再判断两直线平行.

例2 已知：如图2，AD⊥BC，EF⊥BC ，∠1=∠2.∠CDG与∠B相等吗？为什么？

【分析】：读题：题中有三个条件⑴AD⊥BC；⑵EF⊥BC；⑶∠1=∠2.

猜想∠CDG=∠B.思考要证∠CDG=∠B，

通过观察是∠CDG与∠B同位角，根据直线平行的性质只要证DG∥AB；要证DG∥AB，根据直线平行的条件结合∠1=∠2，只要证∠BAD=∠2；要证∠BAD=∠2，根据等量代换，只要证∠1=∠BAD；要证∠1=∠BAD，根据直线平行的性质，只要证EF∥AD，由AD⊥BC，EF⊥BC 得∠ADC=∠EFC，可证EF∥AD.

【点评】本题是直线平行的条件与性质的灵活运用，把之前所学的知识融会贯通.我们要证“三线八角”中同位角、内错角、同旁内角的数量关系，可以考虑证直线平行；反之要证直线平行，就要考虑考虑相应角的数量关系.

难点二：概念变式——三角形三边关系

我们判断三边是否构成三角形要考虑满足下面三个条件：⑴AB+AC>BC ；⑵AB+BC>AC ；⑶BC+AC>AB.但实际，我们做题时只要将其中2条较短线段长度的和与最长线段的长度进行比较就可以了.已知3条线段，判断它们能否构成一个三角形的依据是：若3条线段中2条较短线段长度的和大于最长线段的长度，则用这三条线段能构成一个三角形.

例3 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？（1）15cm、10 cm、7 cm； （2）4 cm、5 cm、10 cm； （3）3 cm、8 cm、5 cm； （4）4 cm、5 cm、6 cm.

【分析】根据归纳的判断三边能否构成三角形的依据，只要思考2条较短线段长度的和是否大于最长线段的长度，若大于则能构成一个三角形，否则不能构成三角形.

（1）∵10+7>15，∴能构成一个三角形；

（2）∵4+5<10，∴不能构成一个三角形；

（3）∵3+5=8，∴不能构成一个三角形；

（4）∵4+5>6，∴能构成一个三角形；

【点评】：判断三边能否构成三角形，如果利用三边关系要讨论三种情况不仅耗时还存在讨论不周到的情况，所以从三边关系分析出简单的判断方法很重要.

把三角形的三边关系变形可以得到：⑴AB>BC-AC ；⑵ BC>AC-AB ；⑶ AC >AB- BC.可归纳得出第三边大于两边之差，同时结合三边关系，我们可以发现：已知三角形的两边长度，第三边的长度范围是大于两边之差且小于两边之和.

例4 已知三角形的两边长分别是2cm和7cm，第三边长的数值是偶数，求这个三角形的周长.

【分析】在三角形中，已知两边长，要求周长，只要求出第三边的长，根据三角形三边关系演变出来的：“两边之差<第三边<两边之和”.

设：第三边的长为x cm. 根据三角形的三边关系有7-2

又因为x是偶数，所以x=6或8.

所以三角形的周长是7+2+6=15cm7+2+8=17cm.

【点评】：本题巧妙地应用演变出来的三角形的三边关系求出第三边的范围，结合题目条件求出第三边，进而求出周长.

所以我们同学在学习概念过程中不要满足于概念本身，可以从概念变式着手归纳总结出一些新结论，帮助我们解题.

难点三：未知化已知——探索多边形的内角和

多边形内角和是在三角形内角和基础上进行探讨的，我们可以把多边形转化成三角形来研究多边形的内角和.如何添加合适的辅助线划分成三角形，下面将介绍三种方法来探索多边形内角和.

方法一 如图3，连接多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形.

我们在探索"n边形的内角和公式"中，用化复杂为简单，化未知为已知，再用已知知识研究解决新问题的化归思想.这种思想将提高我们发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，同时通过上面三种证明方法可以体会解决问题方法的多样性，充分展示了解题中的智慧.

对于上述三个难点，同学在学习本章知识中能够好好把握，对学好本章知识有着举足轻重的作用.