大学数学教育与创新型人才的培养

司建东

摘 要： 本文阐述了数学教育在创新型人才培养中，尤其在创新思维培养中的作用，探讨了怎样在大学数学教学中营造创新情景，开展创新实践，培养学生的创新思维，提高学生的创新能力。

关键词： 创新思维 数学教学 教学改革 创新能力

创新能力是人的能力中最宝贵、最重要、层次最高的一种能力，它是在相应的创新思维的支配下，通过一种积极的创新实践活动而获得的，其核心和灵魂便是创新思维能力。

1. 创新思维与数学

（1）创新思维的内涵和本质

创新思维是以新颖的思路和独特的方式阐明问题和解决问题的思维方式，是对能导致创造性成果的各种思维方式的总称，是主体对知识经验和思维材料进行新颖的组合分析、抽象概括以致达到人类思维的高级形态，它所产生的结果，不论是概念、理论、假设、方案或结论，都包含新的因素。它是人类摆脱固有思维方式的束缚，追求一种非传统、非常规的独特的思维方式。它可以是某种形式的类比思维、知觉思维、创造性的想象和假说等，但更多的是指包括抽象思维和非逻辑思维方式的整合形式。

（2）数学中的创新思维

创新思维所包括的具体思维方式种类繁多，如类比思维、逆向思维、组和思维、非相似思维、非理性思维、聚敛性思维、发散性思维等。在数学中，上述创新思维方法几乎都存在，现举两例如下。

1.类比思维是一种借助与直觉猜测、直觉判断得出结论的不完全逻辑方法，是认识和把握对象本质和规律的一种创新思维方法。在数学发展史中有许多类比思维方法的例子，从17世纪大数学家欧拉对级数的计算，到现代J·H·Holland的遗传算法的产生，都闪耀着类比思维的光芒。

2.直觉思维是指主体在创造活动中不依赖固定的逻辑，甚至突破逻辑规则，直接顿悟事物本质的一种思维方式，通常包括直觉、灵感、潜意识等非逻辑的思维活动。数学史上，一些重大理论的创立，如罗巴切夫斯基几何，勒贝格测度论和勒贝格积分，现代的分形几何理论的产生，无一不凝聚着直觉思维的贡献。数学家庞加莱对直觉思维创新性的认识最深刻，他指出：逻辑是证明的工具，直觉是发现的工具[1]。他认为：直觉是全部逻辑推理的前提和基础，每一项公理的提出都是直觉的创造行为，是直觉从多少经过提炼的经验概念中引申出来的。数学发展在许多关键时刻，想象这一创新思维都是显示出巨大的威力。笛卡尔的解析几何学，牛顿的微积分学等无不显示出想象力的重要。

2.数学教育在创新型人才培养中的作用

评价创新型人才的一个重要指标是创新能力，它包含的因素很多，但其核心是创新思维能力。尽管创新思维能 力的培养不是一门学科或一门课程的教学所完成的，然而中外教育实践充分说明，数学教育在创新型人才创新思维能力的培养中具有其他学科不可替代的重要作用。

（1）数学高度的抽象性有利于对创新思维能力的培养

数学高度的抽象性表现在数学符号及对数学符号大量运用和理解上，也就是对数学语言的灵活运用和正确理解上。数学符号具有表达的简洁、深刻和准确的特点。数学是建立在概念、公理、定理、公式和法则上的逻辑系统，具有高度的抽象性。教师在教学过程中应利用这一特点，有意识地培养学生的抽象思维能力，使他们的思维具有一定的深刻性，从而使学生具有创新思维能力。

（2）数学中的非逻辑思维的教学对创新思维能力培养的作用

在数学教学中，除了再现数学史上的非逻辑思维过程外，反例的构造也是非逻辑思维的一个具体运用。在数学上要确立一个命题为真需要经一系列逻辑推理给予严密证明，而要否定一个命题为真，只需一个范例即可。例如函数在一点可微，则函数在该点一定连续，反之不然。（反之不然的证明，只需举一反例y=|x|在x=0处连续却不可微。）恰到好处的引用反例可以加深理解概念，提高分析和解决问题的能力。美国学者B.R.盖尔鲍姆指出：一个数学问题用一个反例加以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。非逻辑思维的广泛运用，有利于学生创新思维能力的形成[2]。

（3）数学问题的解决过程就是对学生进行创新思维能力培养的过程

3.如何在大学数学教育中培养学生的创新能力

（1）在大学数学教学中培养学生的创新思维能力

首先，在教学中充分再现数学理论发现的思维过程，让学生处于再发现的地位，教师应给学生展示数学理论发现的思维过程，引导学生重走数学理论的发现之路，从而培养学生的创新思维。比如讲授微积分学基本定理时应介绍牛顿在发现定积分与不定积分之间的联系时的物理学问题背景，重点讲授如何通过引入积分上限函数——一类新的函数形式，从而证明微积分学基本定理，由此过程让学生领略前人创新的真谛。

其次，在课堂教学中注重启迪学生的创新思维，包括启发学生运用归纳和类比思维，培养学生发散思维，鼓励学生逆向思维，引导学生进行直觉思维。利用数学中的许多重要结论的讲授来培养学生的归纳和类比思维，如一些函数的高阶导数的递归公式、n阶常系数性微分方程解的结构、平面解析几何与空间解释几何的比较、复变函数与实变函数的联系。利用数学问题中的“一题多解”“一题多变”引导学生发散式思考问题，培养学生发散思维。数学家运用发散思维获得重要发现的例子很多，在讲授时应不失时机地让学生领会数学家的发散思维，充分引导学生主动运用这种创造性思维，如在讲授Cauchy-Schwarz不等式时，可向学生介绍Bellnem在1980年运用发散思维把Cauchy-Schwarz不等式推广到矩阵上，得到矩阵上的Cauchy-Schwarz不等式，1988年林永发又运用发散思维把它推广到复矩阵上[3]。通过具体事例，让学生感受数学上创新的魅力。

再次，更新教学形式和考核形式营造创新情境。想要在培养学生的创新思维能力方面有所突破，就必须在教学形式上突破传统单一满堂灌的教学方式，探索和尝试一些新的教学方式，比如将教学形式为四种形式去处理：讲授课、探索课、实验课、自学课。利用各自的特点，如在探索课教师应提出一些有一定难度或应用前景的问题，如某一定理的可能推广、某一定理的新证明方法、对某一问题新的思考等。让学生在探索中锻炼自己的创新思维能力。此外应更新考核形式，尝试开卷与闭卷相结合，笔试与面试，独立完成与分组讨论相结合多层次、多样化的考核形式，为学生创设出创新情境。

（2）在大学数学教学中开展创新实践活动

以数学实验为手段，为学生营造“实在”的创新情境，通过声音、视觉刺激，让学生直观、深刻地掌握知识，借助教学实验，让学生演示或验证一些数学理论，不仅仅可以提高学生的学习兴趣，同时数学实验本身也是培养学生的创新能力的一个途径。在计算机如此普及的今天，应让学生尝试用计算机及相关软件如Mathmatica4.0和SAS实验许多数学理论，解决数学问题，比如高等数学中的极限、级数、积分，线性代数中的矩阵特征值，概率与数理统计中的估计。检验、线性回归等相关问题。通过实验让学生利用数值模拟方法在计算机上实现解决实际问题的全过程，培养学生创造性解决实际问题的能力，同时教师应给学生找出一些具体的实际问题，让学生用数学知识和创造性思维方法分析、简化、抽象出成熟的自然科学问题，然后探索使用适当的方法和计算工具，检验所得结果，再发现问题，找寻原因，提出改进方案，达到另人满意的结果，或最终以论文的形式提交。通过这种实践活动使学生的创新思维方法得到充分运用，创新能力得到充分锻炼。

参考文献

[1]王建吾.数学思维方法引论[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

[2]林永发.关于矩阵迹的不等式[J].华侨大学学报（自然科学版），1988.3（1）：285-291.

[3]Robert Warson著.朱士群，袁玉立译.异想天开——创新性思维的艺术[M].北京：中国城市经济社会出版社，1991.