求微分方程通解和特解时应注意的问题

刘德军

摘 要： 本文揭示了在求解常微分方程通解的积分过程中，适当放弃部分原函数可以提高求通解效率的原因，并对可否通过隐式通解求微分方程特解给出了判断.

关键词： 微分方程 通解 求解效率 特解 隐式通解

在常微分方程求通解的过程中，通过积分求原函数是必然要面对的问题.而很多积分较复杂，特别是被积函数中有绝对值符号出现时给求解带来了极大的困难.学生在解此类微分方程时经常会直接去掉被积函数中的绝对值符号进行积分，而不知这样是否回漏掉原微分方程的部分解.在这种情况下学生一方面想要准确的计算积分，另一方面要为方便求解而莫名地改变原函数，难免会导致理论上的模糊.因此揭示微分方程通解的结构，让学生充分认清微分方程通解的特点与解法是非常必要的.为了计算方便，我们通常求得的是微分方程的隐式通解，而对于一些给定初始条件的微分方程，最后求特解时如将初始条件代入所得隐式通解与代入显示通解会出现矛盾情况.这就使得初始条件代入何种形式的通解可得正确特解的问题显得尤为关键.下面结合实例详细阐明以上两类问题.

一、适当简化被积函数提高求解效率的方法及本质

不难发现上述两种情况下方程的通解在常数c具有任意性的意义下是完全相同的.这意味着我们在求通解的积分过程中可以放弃部分原函数，不但能使积分过程简化，还能得到正确的通解，这正是学生在做题过程中可以采用简化积分过程求微分方程通解的原因.

二、隐式通解对求特解的干扰

微分方程的通解有两种形式，显式通解与隐式通解.显式通解的优点是可以很直观地给出解得具体表达式，隐式通解的优点是省去了繁杂的显化过程，从而可以节省求解时间，因此隐式通解被广泛采用.但当求满足初始条件的特解时把初始条件代入隐式通解与显式通解会出现不同的结果，我们看一个例子：

参考文献：

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