高中数学解题中整体思想的应用

陈碧云

摘 要： 整体思想是最常用、最基本的数学思想之一，是研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化，使其简单化的一种方法.它是数学解题的一种重要策略，是提高解题速度的一种重要途径.

关键词： 整体代入 整体换元 整体构造 整体补形 整体联想

数学思想是对数学知识与方法构建的规律性的理性认识，是解决数学问题的一种重要策略.数学中的“整体思想”是学生必须掌握一种重要的思想方法之一，整体思想方法是指在研究问题时，从整体出发，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析整体处理的思想方法.它在研究和解决数学问题时，把一些看似彼此独立而实质有紧密相连的量作为整体考虑.这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单、陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.它在中学数学的各个方面都有广泛的应用.本文通过实例谈谈这种思想在解题中的应用.

一、整体代入

做题时，我们发现有些题目，如果孤立地利用已知条件，问题也许可以得到解决，但解题过程比较复杂；而如果把已知条件看做一个整体，直接或变形以后代入求解，问题就会变得容易很多，解题思路也相对明确.

二、整体换元

有些数学问题看似结构复杂，计算繁难，很难直接求解，但若通过恰当整体换元，把问题作整体变换，问题就会巧妙地化繁为简，化难为易.整体换元就是通过研究新元性质解决问题.

三、整体构造

整体构造，就是根据已知条件和所求，整体构造相应的式子，通过对两个式子的联合研究来解决问题.有些问题直接去求，学生在解题时经常会无从下手，但通过整体构造后，就能迅速得出答案.

例：已知密码3BCDRST=4RSTBCD，其中每个字母都表示一个十进制数字，试将这个密码译成数字形式.

解析：此题有6个未知数，若依次求解，无法达到目的确切，注意到BCDRST与RSTBCD之间的轮换关系，可将BCD与RST视为两个整体分别设a=BCD，b=RST，

则3（1000a+b）=4（1000b+a），所以428a=571b，

因为a，b为三位数，

所以所求密码为3571428=4428571.

四、整体补形

整体补形试用于解决数学问题中的非规则图形、非特殊图形，在图形补全后，使原本图形转变为完整的特殊图形.有些题目已知条件仅提供一个局部图形，扰乱学生的思维，但如果把局部图形补全，通过对整体图形的研究，就能突出问题本质，找到简洁的解法或证法.

例：球面四点O、A、B、C，且OA、OB、OC两两垂直，OA=OB=OC=a，求球的半径？

五、整体联想

整体联想就是把已知各个元素联想到某一性质、定理、公式上等.在数学解题中，有时应发挥联想，合理构造，把问题简单化，有利于迅速得出结论.

通过上述数学问题的求解过程与求解方法，我们知道在解决数学问题时，要善于观察题目特征，把解题注意力和着眼点放在问题整体结构上，通过不断挖掘、提炼而触及问题的本质.通过研究问题的整体形式、整体结构或做种种整体处理以后，达到顺利而简捷地解决问题的目的.掌握一种数学的解题方法和思想方法，对于数学逻辑思维能力的培养，具有深远的意义.在学习活动中培养学生全面思考问题、提出问题、解决问题的意识和合作的学习习惯，并培养学生的推理能力和语言表达能力，发展学生的思维.若在解决数学问题时，不注重整体结构与思维，学生解决能力相对受限，容易被绕在数学问题的圈子，增加数学解题难度，解题效果不佳.在高中数学教学中，学生还应加强数学基础知识的学习，掌握基础的数学定理、概念，并能够对基础知识进行归纳和总结，从而构建系统、完整的数学知识体系，在使用整体思想解决数学问题的时候，也能灵活运用，取得事半功倍的效果.