高中排列组合问题的变式研究及生活中的应用

李萍萍

摘 要： 排列组合问题是高中数学教学的一个难点，由于题目灵活多样，解题方法独特，有利于训练学生的逻辑思维能力，解决排列组合问题要将侧重点放在两个计数原理的考查上.

关键词： 排列组合 分类计数原理 分步计数原理

一

著名的数学家波利亚认为：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当地选择某些有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智与推理能力.”基于这一想法，笔者通过对一道典型例题的变式研究，以培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.

人教版《数学》选修2-3第18页有这样一道例题：有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？

解决这个问题是很容易的，答案是A . 就这个问题可以引导学生变换问题条件尝试设计一系列新问题.

（一）将送的书变化

将5本不用的书改为相同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？

答案：C.

（二）将送书的方法改变

1.有5本不同的书，全部送给3名同学，共有多少种不同的送法？

答案：每本书有3种不同的送法，由分步计数原理，共有3×3×3×3×3=3种不同的送法.

2.有5本不同的书，全部送给3名同学，每人至少1本，共有多少种不同的送法？

答案：送书的方案有两种：1人得3本，2人各1本；1人得1本，2人各2本.

故共有C·A+·A种送法.

3.有5本不同的书，全部送给3名同学，其中至少有1人得2本，共有多少种不同的送法？

答案：由分步计数原理可分3步：先选人，有C种；再选书，有C种；其余3本书全部给其他2人有2种送法，共有C·C·2种方法.

4.有5本不同的书，全部送给3名同学，知某个确定的人得2本，共有多少种不同的送法？

答案：这里的某个确定的人是指定某人，得2本什么书不确定，共有C·2.

5，有5本不同的书，全部送给3名同学，其中要有1人得2本指定的书，共有多少种不同的送法？

答案：共有C·2种方法.

6.有5本不同的书，全部送给3名同学，已知某人得2本指定的书，共有多少种不同的送法？

答案：已经确定某人得2本指定的书，剩下的3本书分给剩余的2人，共有种方法.

（三）将送的书改变，送书的方法也改变

1.有5本相同的书，全部送给3名同学，共有多少种不同的送法？

答案：由分类计数原理分三类：

有1人得书：有C种分法.

有2人得书：将5本书分2堆，有2种分法，即4，1和2，3，每种分法送其中2人均有A种送法，故共有C（A+A）种送法.

有3人得书：将5本书分3堆，有2种分法，即2，2，1和3，1，1，每种分法送给3人均有C种送法，共有C+C种送法.

故共有C+C（A+A）+C+C种送法.

2.有5本相同的书，全部送给3名同学，每人至少1本，共有多少种不同的送法？

答案：相当于在5本书的4个间隔中插入2个隔板，形成3堆，有C种送法.

二

在排列组合的问题中，经常会碰到很多与体育比赛有关的问题，我们因为对体育赛事比较陌生，总是会犯一些错误.下面结合一些常见的体育赛制及其对应的排列组合问题加以分析.

（一）单循环赛：就是任何两方之间都只比赛一次.

（二）双循环赛：就是任何两方之间都要分主、客场两次比赛.

如：学校举行篮球比赛先分甲乙两组进行单循环赛，甲组各8个队，乙组6个队，各组选出前4名后，8个队进行双循环赛，共有多少场比赛？

解析：对于甲组，比赛场数是从8个不同元素中取出2个元素的组合数即C=28（场）.

对于乙组，比赛场数是从6个不同元素中取出2个元素的组合数即C=15（场）.

而对于第二阶段的比赛，比赛的场数是从8个不同元素中取出2个元素的排列数，即A=56（场）

故共有C+C+A=99（场）比赛.

（三）淘汰赛：就是每场比赛将直接淘汰一支队伍（或选手）.

淘汰赛一般比较适合于参赛队伍（或选手）比较多的比赛，其比赛赛程可以缩短，但这种比赛带有比较大的偶然性，有时不能客观地反映出比赛各方的真实实力，容易产生“黑马”.淘汰赛在一些大型国际比赛中经常被采用或部分采用.

如：8名世界网球顶级选手在广州参加比赛，分成两组，每组4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名和另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三名和第四名，比赛共有多少场？

解析：每组单循环赛共有2C场比赛，每组第一名和另一组的第二名进行淘汰赛，有2场比赛，最后角逐冠、亚军和角逐第三、四名，有2场比赛.

所以共有2C+2+2=16场比赛.

（四）擂台赛：是一种有着悠久历史的比赛赛制，目前在围棋比赛和其他一些带有古老性质的比赛中时有出现，其赛制比较特别，在其他场合出现的不太多，考试涉及较少.

（五）对抗赛：就是双方的队员一对一同时进行比赛.是考察比赛双方整体实力的一种赛制，同时是对比赛双方排兵布阵能力的总体考查.

如：甲队和乙队进行中国象棋对抗赛，双方各出5名队员进行比赛，问总共有多少种不同的对阵形势？

解析：把其中一队的5名队员排成一列，第一名队员可以从另一队的5名队员中任选一名对阵，第二名队员可以从另一队的剩下的4名队员中任选一名对阵，以此类推，可得总共有A=120种不同的对阵形式.

排列组合问题联系实际，生动有趣，但有时不易掌握，归根究底，解决问题的关键是加法原理和乘法原理的灵活应用，通过多向思考能更好地熟悉和掌握知识的内在联系.

参考文献：

[1]沈泉.排列、组合问题的类型及解答策略.数理化解题研究（高中版），2011（05）.