用《几何画板》进行数学解题教学的合理性分析

程伟

摘 要： 文章分析了问题解决的一般心理过程和几何画板的特点，从几何画板对问题表征的合理性和解题策略选择的有效性两个方面论述了几何画板在解题教学应用中的合理性。

关键词： 几何画板 问题解决 问题表征 解题策略

传统教学方法下，数学解题教学的典型特征是教师讲解数学问题，呈现解题过程，学生进行大量练习，提高解题能力。在结构简单、数学关系直观明了的数学问题下，通过大量地讲解与练习可达到一定的效果，而对于结构复杂、数学关系较抽象的数学问题则只有少数学生才能理解其解题过程和解题原理。能否借助计算机提高问题解题教学的有效性，让更多的学生直观地理解数学问题，合理地表征数学问题，整体地把握数学问题呢？

1.数学问题解决的一般心理过程

根据认知心理学家的观点，数学问题解决可概述为在数学概念、命题学习的基础上，通过对问题进行初始状态表征，提取与问题有关的知识和经验，选择解题策略和方法，进行初始表征状态的修正、模式的匹配等操作后，直至达到问题目标状态的探究活动。所以数学问题解决的过程就是从问题初始状态到最后目标状态的过程。纽维尔和西蒙把这些认知状态组合在一起称为“问题空间”，所以问题解决的本质就是对问题空间的搜索。

在整个问题解决的过程中，首先，解题者要能对问题进行合理的初始状态表征，表征方式可以是命题、图像等，表征一般以内在的形式存在于大脑中、纸质上乃至计算机上。然后，储存在工作内存的信息开始激活个体长时记忆系统中的知识和经验，提取与该问题有关的知识，选择有关的解题策略和方法，进行探究并修正初始状态的表征，选择大脑中已经解决的问题模式与之匹配。最后，达到问题的目标状态。在数学问题解决的心理过程中，受阻主要表现在如下方面：问题的表征、相关知识的激活与提取、解题策略的选择、已有模式的丰富程度与匹配的可能程度。几何画板能帮助学生合理表征问题，有效激活相关知识，让学生采用适当的解题策略进行合理探究，建立完善直观的问题模式，丰富学生问题化归的途径。

2.几何画板的特点

数学最大的特征是对事物在变化中不变性质的研究，而几何画板操作系统的设计正是出于数学的这一特征，所以在几何画板提供的操作环境中能保证数学的这一特点。具体地说，变化中保持数学关系的不变，即：不管图形如何变化，而事先给定的所有数学关系都保持不变，这样更有利于学生对数学知识的变化中不变性的把握，深入数学的精髓，突破了传统教学的难点。这使得用几何画板制作的数学问题解决教学的课件能生动形象、直观具体地从根本上揭示数学问题结构的本质特征。符合学生的认知特点，实现了数学思想的动态直观表现，使数学从静态到动态，从抽象到直观，从微观到宏观，从定性到定量的转换，便于学生联系地、整体地思考和把握数学问题。

3.几何画板能促进学生进行合理的问题表征

问题表征是指人们在解决问题时所使用的一种认知结构，具有多种形式（Chi，& Feltovich & Glsaer，1981），包括对问题的叙述、推理和抽象概括，具体表现为对问题、问题的条件与结论及问题状态转化过程中产生的知识与关系的呈现。问题解决的典型特征是生成合理的问题表征，而合理的问题表征必须满足如下三个条件：①表征与问题的真实结构相对应；②表征中的各个问题成分被适当地结合在一起；③表征结合了问题解决者的其他知识。因为几何画板在课件制作过程中必须满足问题所应有的数学关系，并且在保持了这些数学关系的同时将问题的各个部分结合在了一起，所以用几何画板可以合理进行问题表征。在几何画板的背景下，学生能动态直观地理解和把握数学问题，所以几何画板能促进学生合理进行问题表征。

4.几何画板能促进学生对解题策略的选择和问题模式的识别

解题策略的选择是问题解决的关键所在，解题策略包括一般的思维方式（观察与实验，比较与概括，分析与综合，一般化与具体化等）、探索策略（取特殊情况尝试，分离与组合，动员与组织等）、数学思想方法（分类讨论，数形结合，化归转化等）和技巧（换元，分离常数等）。最终把要解决的问题归结为已经解决的某种问题模式，可以说问题解决的实质是模式识别。所谓模式是指若干元素或成分按照一定关系形成的某种刺激结构，也可说模式是刺激的组合。模式识别过程就是感觉信息与长时记忆中的项目有着最佳匹配的过程。所以要成为一位优秀的问题解决者必须掌握一定的解题策略，能合理地辨认和使用解题策略，并在长期的问题解决中储存更多的问题模式，能很好地辨认原有模式与眼前问题的联系与区别，建立良好的匹配关系。

几何画板本身就是一个探究平台，它能在保持数学问题的结构关系下，动态地呈现问题的整体结构特征，在变化中实现观察与实验的探究，促进数形结合的处理，启发分类讨论的解题策略等功能。能从宏观上感触到问题从初始状态到目标状态的转化，从一定的高度认识问题空间，也能从微观的角度感受到任意两个空间状态的转化过程。

通过上述分析可以认为，用几何画板进行数学解题教学是符合学生认知特点的，有助于促进学生进行合理的问题表征，丰富学生的表征方式，激发学生探究数学问题的兴趣，能直观感知问题空间中问题表征状态转化，促进解题策略的选择，丰富便于激活的问题模式。

参考文献：

[1]喻平著.数学教育心理學[M].南宁：广西教育出版社，2008：233.

[2]鲍建生，周超著.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2010：184，185，191.