确定位置为什么要用数对

罗永军

“用数对确定位置”属于图形与几何领域，这一内容从正式进入小学数学教学距今已有10年“教龄”了。大家对这一内容的研究，初期集中在“怎么教”，讨论的焦点是用什么情境，能不能生活化。如，是采用教室中的座位这样生活中的实例引入好，还是用小动物做操的例子更有趣？等等。随着实践的深入大家还发现一些更为紧要的问题，比如，已经学过了“第几排第几个”“第几行第几列”这样的位置确定方法，为什么还要学习“用数对确定位置”？有序数对 “先列后行”书写顺序和生活中常用的“先行后列”顺序不一致，学生反而容易弄错。又如，数对为什么会进入小学数学内容？确定位置是数学吗？确定的是相对位置还是绝对位置？确定位置为什么要用数对？等等。种种问题都指向“教什么”，对问题的思考有各种各样的回答，也因此产生了丰富多彩的教学设计。

实际上对这些问题的回答凸显了不同的目标定位：有的认为学习数对是因为生活需要，教学中主要是引导学生学习确定物体位置的新方法，重点是将已学的行列表示法与新学的有序数对表示法进行对应，难点是突破“列在前，行在后”；有的认为要把现实物体抽象成点，学习的目标放在把点的位置进行符号化（数对）的过程；也有的认为应该突出坐标思想，引入数轴；等等。这些目标哪个正确？查看《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求：“在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应。”单从《课标》的要求来看，主要学习平面中点的位置表示，因此上述的教“方法”、教“过程”、教“思想”都需要。不过，一节课中容量有限，需要教师有所侧重。下面笔者结合相关案例的分析，来谈“用数对确定位置”新授课环节的目标定位。

一、问题驱动，发现规则，创造数对

这一类教学把有序数对看成是一种确定物体位置的新方法，通过具体情境让学生体会到新方法的优点并学习新方法中所蕴含的规则。

【片段1】

呈现座位表，请大家猜一猜A同学的位置。学生用第几排第几个的方式描述。

师 ：A同学到底在哪儿呢？如果这时候有一个数学家就在我们课堂上，他除了用“第几排第几个”的方式告诉大家以外，还会选择这样一种更简洁的方法，来确定他的位置。[教师板书：（4，2）]

师：你是怎么数的？

生：我从下往上数的第4组左边的第2个；我是从上往下数的第4组左边的第2个；我觉得是从下往上数右边的第2个；也有可能是从上往下数右边的第2个……

师：（分别圈出学生所说的位置）怎么会有这么多位置呢？（学生发现用数对表示的规则不清）

师：老师不想直接告诉你们。不过，我可以透露一下，A同学最要好的朋友所在的位置如果也用这样的数对来表示的话，应该是（2，1）。（师在座位图中标出这位同学的位置）

生：我知道了，某某的数对是（2，1），而他正好在第2竖排、第1横排。所以我们小组发现，数对前一个数表示的是第几竖排，后一个数表示的是第几横排。A同学的数对是（4，2），说明他在从左往右的第4列，从前往后的第2排。

【片段2】

呈现座位表，请学生猜一猜A同学的位置。学生用第几排第几个的方式描述。

师：既然这样的方式已经能够确定位置了，那我们今天还来研究什么呢？

生：我觉得是不是有比像“第3排第4个、第4组第3个”更简洁的方法，也可以用来确定位置。

师：了不起！和数学家想一块儿去了。那么，到底有没有比它更简洁的确定位置的方法？如果有，又会是什么样的呢？我把这一任务留给四人小组，看看能不能集中大家的智慧，在“第3排第4个、第4组第3个”的基础上，创造出比它更简洁、准确的方法。

学生小组研究后展示：①4排3个；② 4～3；③ 4·3；④竖4横3；⑤4↑3→⑥4，3。

师：这是从同学们中收集到的部分方法。看看每一种，似乎都挺简洁。到底该选哪一种呢？还是请大家来作评判吧。

……

师：其实数学家选择了第⑥种方法，并且规定：以后凡是像这样用行数和列数来确定一个点的位置，我们通常都将列数写前面，行数写后面。你会了吗？让我们来试一试吧。

【解读与评价】

这两个片段源自同一位教师的设计，执教时间前后相隔5年。相同之处是这两个片段的预设目标基本相同，都是基于学生已经掌握了行列法表示物体的位置这一基础，引导学生发现用有序数对也可以确定物体的位置。对于为什么要用数对来确定位置，“方法简洁”是教师的小结，也都用到了“数学家”在用这种方法时的说法。简洁不等于简单，“老师并没有打算直接把规则告诉大家”，在这里两者的差异呈现出来了，前者给出了“数学家”的一个答案（不告诉方法），让学生根据答案中学生的位置与数对的对应关系推断有序表示的规则。而后者的设计是先放开让学生自己构建规则，然后说明和理解“数学家”的选择结果。前者体现了推理思想，后者体现学生主体地位。这样的设计，实践效果已被认可，值得学习。

如果要提出商榷的观点，那么在上面的设计中，学习任务是要找到一种“简洁方法”来确定座位。这个方法就是“有序数对”。用“有序数对”来确定座位，方法简洁吗？

在实际生活中，我们常用“第几排第几个”“第几组第几个”这样的说法，用这种方法大家都知道所说的位置在哪里，表达清晰明白易懂。如果想要说得更简洁一点，完全可以用省略几个字的方法，直接说“几排几座”，比如“4排2座”，大家都知道这个位置在第4排第2个位置。如果用（4，2）的方法，大家反而不知所云。

那么“有序数对”用在哪里呢？其实《课标》已有说明，学习“有序数对”的目的是“为进一步学习平面直角坐标系做好铺垫”。也就是说“有序数对”的价值更多地是体现在表示平面中点的位置。数对其实就是坐标的原型，是点的位置抽象，有了数对我们可以计算点与点之间的距离，可以用数与式来描述点的运动轨迹，等等。因此，在教学中教师从座位图引入后不妨早些换成点子图（见图 1）。师生根据点子图来研究数对所表示的方法与规则，并且以运动的观点来进一步认识“有序数对”的价值。比如，把点（1，5）每次右移1格，将会得到哪些点？从这些点（2，5），（3，5），（4，5），（5，5），……（x，5）中可以发现什么？如果把点（2，5）上移或下移，这些点的位置怎样表示，它们有共同或不同的地方吗？把点（1，2），（2，3），（3，4）连起来，你发现了什么？按照这样的规律，下一个点的位置是什么？等等。

二、绕开行列，引入数轴，接轨坐标

数对学习的认知基础是一年级 “方向”的上下左右，二年级 “找位置”的第几排第几个。在日常生活中则多用排与座。有基础当然好，但会带来负迁移——能不能绕开某些用语，比如排与座、行与列呢？

【片段】

师呈现座位表（图2）。

师：谁来说一说小军的位置？

生：从左往右数第4个。

出示方向箭头和数：→4

师：有方向，也有数，你能想到什么？

生：数轴。

师：横着的数轴，可以称为“横轴”，竖着的数轴，可以称为“竖轴”。（出示图3）

师：由生活中的位置，我们想到了数学中的数轴。有了数轴，这些位置一眼就看出来了，既简单又方便！（师出示教室中的座位图，再简化成点）

师：现在，你能把小明的位置记录下来吗？

学生活动后展示交流。

生：（4-3），（4·3），（4↑3→），（4，3）……

师：为了能确定位置，咱们再规定一下，先横着数，再竖着数。（板书）用这样的两个数就可以表示一个位置。为了看得更清楚，咱们用一个逗号把两个数隔开。这样的一对数，也就是一个数对，表示一个位置，是一个整体，咱们用括号表示。[板书：（4，3）]

【解读与评价】

整个教学过程中，教师没有提“行”“列”，只用“横着数”“竖着数”。怎样数呢？利用已有经验，从一维开始，借助数轴，横数从左往右，竖着数从下往上。因为是借助数轴，所以在数轴刻度标识的指引下，数的方向不会错。在二维坐标系中，学生经历自主表示点的位置过程，然后由教师介绍用数对表示位置的规则“先从左到右横着数，再从下往上竖着数”，简单地说就是“先横后竖”。这样教学淡化了现实中的物体的定位，也没有花费很多时间让学生去创造“符号”来表示“第几行、第几列”，也没有比较不同表示方法的优劣，而是直接告知学生为了“统一”“交流”的需要，先横看再竖看。在教师的引导下，有一定空间想象能力的学生，可能在脑海中浮现这样的一个形象的符号“”，而这先横后竖的形象，正好能与后继“直角坐标系”学习中的“横坐标”“纵坐标”顺利接轨。这样较为直接的教学，也得到了专家的响应。

不过，引入数轴、基于数轴的有序数对教学，与原有的“行列”表示法并不矛盾，如果仅仅是担心学生出错而完全舍弃学生原有认知基础也会有局限，在碰到具体问题时，学生有可能混淆两者。那么，教师能不能在课中将点子图教学完以后再恢复座位图，让学生思考某同学的位置可以怎样表示，然后联通几种表示方法。当然，这只是笔者浅见，实际教学还需要结合学生的原有认知基础。另外，这样的教学还有一个地方不易处理：数轴的原点。在这个教学设计中是直接出现。那么，有没有更好的呈现方式呢？

三、追本溯源，丰富结构，凸显符号思想

用数对确定位置不是简单地将“行、列、排、座”升级，而是有其数学发展的内在脉络。我们知道要确定点的位置在一维、二维、三维空间中所需的参数是不同的，也就是说，有序数对以及今后学习的坐标是空间结构的数学描述方法之一。能不能根据空间结构的层次来学习有序数对的表示呢？

【片段】

师：今天老师把刘谦这个大魔术师请来了。不过我把刘谦藏在这些点的后面。（师在黑板上画了5个点）你知道刘谦藏在哪儿吗？

生（疑惑）：每个点的后面都有可能，少条件。

师（在黑板上写数“2”）：现在你能知道吗？

生：我觉得要么藏在从左边数的第二个点的后面，要么藏在从右边数的第二个点的后面，还少条件……

师（标出方向“→”）：现在呢？

师：你们真聪明。（师画上25个点）刘谦又给了我们这样的条件（2，5），他藏在哪儿？（师根据学生的回答标记出所有的可能点）

师：还缺少什么条件？如果老师给你提示（4，1），它表示什么？能帮你找到刘谦藏哪儿吗？

师：对，你们说得好，这个位置我们用（2，5）表示。（2，5）在数学上叫数对，写的时候，先写表示列的数，再写表示行的数，也就是“先列后行”，最后写两边的括号。你会写了吗？

【解读与评价】

在这个教学片段中，教师也让学生猜某人的位置，与前面不同的是，并不是直接出现二维的座位图，而是把“有序数对”与“维”联系起来：①当有多个点（位于同一直线上）时，确定某个点的位置不仅要有方向还要有距离——从左还是右数起，从上还是下数起？离参照物（原点）是多少？②在平面上如何确定点的位置呢？学生发现条件不够了，因为它需要两个不同方向的距离来描述！所以，需要两个数来描述，并且还要统一描述规则。在课堂上一句“还要加什么条件？”的多次问题引导，既尊重了学生个体，还生成了多次对新条件的探索，更加深了学生对数对位置概念的理解与体验。

为什么需要数对，为什么需要有序数对？在这个片段中我们可以看到清晰的脉络。像这样基于空间结构层次的教学设计，就把一个几何概念所蕴含的结构性及所需要的统一性给揭示出来了。

有教师可能会疑问：这样教学对学生的要求高，学生能不能适应？如果担心学生不能根据（4，1）发现规则，那么教师可以适时添上数轴，借助数轴，学生更有可能发现对应关系。毕竟，在这则教学中点与数对之间一一对应关系的规律还是很重要的。

数学规则的形成既有其历史的偶然性体现在人为因素中，又有其学科发展的必然性体现在其背后的科学因素中，对其不同的解读在教学中产生了多元的目标和相应的教学设计。有种说法是“教什么”比“怎么教”更重要，其实两者是相辅相成的。在与读者分享众多教师智慧而感到喜悦的同时，也因囿于自身水平，不能介绍更多的研究成果而遗憾。本文旨在抛砖引玉，期待有更多的教育智慧共同分享。

（浙江省新思维教育科学研究院 310007）