高中数学中恒成立问题解析

赖杭珍

高中数学的恒成立问题一直以来都是重点、难点，尤其是含参数的函数恒成立和不等式恒成立问题更是高考热点题型之一.此类问题往往涉及面广、难度大、综合性强，解决此类问题所需的数学思想、方法较多，是衡量考生综合能力素质的一个重要指标，并且这类问题没有办法用固定的思维方式解决，在各类考试甚至高考中都屡见不鲜.

函数是不等式恒成立问题的主要载体，通常通过不等式恒成立问题考查等价转化思想、函数的最值或值域等知识，对涉及已知函数在给定区间上恒成立，求参数的取值范围、证明不等式等问题，大多数题目可以利用分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值或值域问题.本文就此作探讨.

“主元”型这类题型是指题目中出现两个参数，通常给出其中一个参数的范围，求另一个参数的范围或用已知参数表示另一个参数，其解题途径是以所求参数为“主元”，利用函数图像或分离变量法求解.

反思：求函数的最小值时，由于含有参数m，因此要分类讨论，并结合函数的图像进行考虑，过程比较复杂，因此分离变量后求函数最值应是解题的首选，但求函数的单调区间会有一定的阻碍.

【评注】研究不等式f（x）>0在区间A上恒成立，求其中参数a的取值范围问题，一般有两种方法：

第一种方法，直接转化为研究带参数的动态函数y=f（x）在区间A上的最值.由于函数y=f（x）带有参数，它在区间A上的单调性会由于参数a的不同而变化，因此需要分类讨论.由于函数y=f（x）的单调性和其导函数在区间A上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数y=f′（x）在区间A上的零点个数分类讨论.

第二种方法，将不等式f（x）>0作变形，将参数a和变量x进行分离，将不等式转化为h（a）>g（x）（或h（a）zL/UIQki+gQqJp7tuK3zY/k7HB2Gi+mYwRcEAQWQnKw=

值）的问题，即“大于最大值，小于最小值”.由于y=g（x）不含参数，其在区间上的单调性是确定的，就不需要分类讨论.但要注意的是，有时候由于函数y=g（x）形式比较复杂，研究起来也不一定方便.

反思：通过上述几个例子可以发现，在恒成立问题中首选方法是利用分离参数的方法转化为求新函数的最值问题，但是分离参数并不是万能的，有些函数在分离变量后较复杂，不易求最值，甚至有些函数在分离变量的时候具有一定的难度.如果分离参数比较复杂或者不能分离参数时，一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决.

【评注】本题的题型是含参恒成立问题，关键一是求的x是的取值范围，所以应该把x看为参数;关键二是灵活创造，

恒成立问题是函数内容的精华，是数学试题中的重要题型，涉及數学中各部分知识，如导数，函数最值和值域，不等式，等等.涉及题型一般是已知不等式恒成立，求参数的取值范围.常见的方法有最值法，分离变量法，变换主元法等.但其核心思想还是等价转化，只有抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断地领悟、体会和总结.