巧用画图 突破难点

陈智芬

画图策略与几何直观有着千丝万缕的联系。画图策略可以帮助学生在形象思维和抽象思维之间搭建桥梁，让学生在学习理解数学的过程中培养和发展学生的几何直观能力，感悟初步的数形结合思想，从而促进学生数学能力的发展，提高数学教学的实效。

一、巧用画图，理解概念内涵

小学生以具体形象思维为主，数学概念对他们来说，枯燥无趣、抽象深奥，内涵难以清晰把握。因此，教师要想让学生深刻理解数学概念的本质内涵，就要以形辅数，借助图形直观帮助其理解，这样就能取得事半功倍的教学效果。

例如，教学“倍的认识”一课时，“倍”是一个抽象的概念，学生在解答这一类问题时往往会出现错误。如果单凭教师的讲解，学生是不能够理解的。所以在教学时，笔者就先画出两组图形（见下图）让学生思考并说一说从图中发现了什么，以及图中图形之间的关系。这样，就可以让学生非常容易理解倍的概念。教师在学生基本感悟“倍”的概念时再圈一圈帮助其理解“倍”的概念。当学生基本掌握“倍”的概念后，教师再说一些倍数，让学生在本子上用画图来表示，这样就可以更好地促进学生对“倍”这一概念的理解。

因此，数学概念的教学，教师如能借助相应的几何直观，直观地把“数”和“图”结合起来，从“数”和“图”两个角度去认识和理解数学概念，让学生反复体验感知，建立概念表象，必将能有效地促进学生对数学概念的主动理解与建构，学生也能理解和掌握具体图形之外的数学概念。

二、巧用画图，揭示算理本质

要提高学生的计算能力，学生对算理的真正理解是基础和保证。算理往往又是抽象的、难以理解的。不理解算理的计算，单纯依靠简单模仿，达不到计算的融会贯通，也就失去了计算的灵活应变。怎样让学生理解算理？画图则是很好的方法，它能借助图形直观揭示算理的本质，帮助学生深刻理解算理。

乘法分配律是运算定律中最难理解和掌握的，在计算时学生最容易出错，其根源就是学生未能从数学意义上真正理解乘法分配律。挖掘字母公式（a+b）×c= a×c+b×c的意义，不妨把它植入两个等宽的长方形中，通过求面积和来理解。如（8+7）×5= 8×5+7×5，假设第一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米；第二个长方形的长是7厘米，宽是5厘米。求两个长方形的面积之和（见下图），结合图形可得面积之和为“8×5+7×5”，因为宽相等，也可以把这两个长方形合并起来，长就是（8+7）厘米，宽就是5厘米，面积就是（8+7）×5。利用数形结合的方法，学生便可深刻理解“乘法分配律”，突破教学重难点。

因此，在教学中，有些数学算理如能与图形结合紧密联系，充分利用直观示意图，形象直观地揭示算理的意义和方法，学生便可容易理解和掌握。学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，算式和图形完全有机地对应与转化，数形结合相得益彰，数学算理直观明了，教学效果有效凸显。

三、巧用画图，拓宽解题思路

北京教育学院数学系副教授张丹在《小学数学教学策略》一书中指出：“画图策略是非常重要的一种分析问题和解决问题的策略，它是利用‘图’的直观来对问题中的关系和结构进行表达，从而帮助人们分析问题和解决问题。同时画图又是一个‘去情境化’的过程，它把情境中的数量关系进行提炼，并且进行直观表达。”

1.画图，可以突出解题关键。例如，六年级下册“圆柱与圆锥”这个单元中，练习五的第5题。一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？有部分学生不能理解把一堆沙子铺在一条路的路面上时，沙子的体积就等于铺成的长方体的体积。于是教师就可以引导学生画图想象（见下图）。

教师再加以点拨：解题的关键是什么？（理解沙子的体积等于长方体的体积）解题的步骤是什么？（①求出圆锥体沙子的体积；②用圆锥的体积，也就是长方体的体积除以长方体的宽和高就可以求出长方体的长）又例如，在二年级教学完乘法后，在解决问题时，有一部分学生经常搞不清要用加法还是要用乘法。教学时，教师就可以教学生画简单的示意图来帮助理解。如小天买了3支铅笔，又买了5支圆珠笔，一共有几支笔？可画示意图（如图1）；又如小天买了3盒铅笔，每盒5支，一共有多少支铅笔？可画示意图（如图2）。学生通过画图，就可以很直观地感知加法和乘法都是把几部分合起来，只不过加法可以把不同的数合起来，而乘法是把几个相同的加数合起来。从而很快地抓住解题关键解决问题，同时也能加深对加法与乘法的含义的理解。

2.画图，可以理清数量关系。线段图是教学中常用的方法。线段，画起来很简单，可就是这简单的线段却在小学数学解决问题教学中起了奇妙的作用。线段图作为解决问题的一种基本策略，从数学教学的“辅助工具”向“课程目标”的价值提升，它是学生从直观向抽象过渡的桥梁，有助于学生理解数量关系，从而找到解题方法。“路程问题”是运用线段图最多的一种题型，但并不是只有“路程问题”才可以运用线段图，还有很多题型都可以运用线段图，如分数乘除法解决问题、百分数解决问题、倍数解决问题、稍复杂的用方程解题等。

例如，五年级上册在“稍复杂的方程”教学中有这样一道例题“足球表面的皮是由黑色皮和白色皮组成，其中白色皮有20块，比黑色皮的2倍少4块，黑色皮有多少块？”这道题只从文字上来理解比较困难，学生无从下手，但通过线段图（如图3）的分析，学生可以轻而易举地解题。

图3

借助“线段图”，变“看不见”为“看得见”，学生能清晰地看到白色皮和黑色皮的数量关系“白色皮的块数=黑色皮的块数×2-4”，还可以直观地看到白色皮加上4等于黑色皮的2倍。学生不仅理清了数量间的关系，还拓宽了解题思路。

四、巧用画图，拓展思维方法

在数学教学中，数形结合首先表现为一种意识，面对数学问题能想到借助画图来帮助思考；其次表现为一种技巧，能利用画图来理清解题思路；再次表现为一种能力，学生能够借助图形进行筛选分析，创造性地解决数学问题。当学生遇到抽象理性的数学问题时，想不想用图、会不会画图、能不能借助图来分析解决问题，将决定他们思维的深度和广度。画图策略，让思维达到“柳暗花明”的意境，在巧妙解题时感受到数学思想的神奇力量。

例如，在教学六年级下册《数学思考》时，6个点可以连成多少条线段？8个点呢？这时就可以引导学生通过画图，化难为易，探索数学规律。又例如，六年级下册数学指导丛书《数学思考》（一）第2题，摆一摆，找规律。如果要让学生真的去摆，就需要每个学生都准备火柴棒，如果有的学生没准备，就无法操作，并且教师又不好在黑板上展示；如果不摆只看图，又不能让学生完全明白其中的奥秘。这时，就可以引导学生画图：先用4条线段画出1个正方形（如图4），再接着画第2个、第3个……当学生画到第4、5个时，实际上已经在画的过程中明白了只有第1个正方形是需要用4根小棒，接下来的正方形都只需要3根小棒；有的学生则认为，每个正方形都只用3根小棒，最后再加1根小棒围起来，这样来解决问题更简单。这时再来解决摆10个正方形需要多少根火柴棒，如果有301根火柴棒，能摆多少个正方形？摆N个正方形需要多少根火柴棒，就轻而易举了。

总之，“画图策略”是众多的解题策略中最基本也是很重要的策略。利用数与图之间的对应和转化，搭建抽象思维和形象思维之间的桥梁，让数学问题由抽象变直观、由难变易，从而丰富学生感知体验，发展学生思维能力。因此，在教学实践中，教师应根据教材内容和特点，找到数形结合的对应点，适时、巧妙地运用画图策略，这样就能有效地提高数学课堂教学实效。

（福建省厦门市海沧区东瑶小学 361027）