“二元一次方程组”常见错误面面观

徐亮

二元一次方程组在中考中的考查常以填空、选择形式为主，或者直接是解方程组，虽然要求不高，但是很多同学在解题中错误百出，丢分较为严重，下面就平时教学中发现学生容易出错的地方进行举例分析，引起大家的注意.

1. 二元一次方程组的概念理解不透彻

例1 方程组：①m-n=1，

m+n=2. ；②y-z=0，

x+y=1. ；③x+y=1，

xy=-2. ；④x+y=3，

1x-1y=32. 中二元一次方程组的个数是（ ）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【错解】D.

【分析】二元一次方程组是指由含有两个未知数的两个一次方程联立构成的方程组.因此二元一次方程组应包含三个方面：1. 整式方程；2. 含有两个未知数；3. 未知数的次数是一次. 方程组②含有三个未知数；方程组③是二次的；方程组④不是整式，因此它们都不是二元一次方程组，只有方程组①满足条件.

【正解】A.

2. 方程组的解的概念模糊不清

例2 方程组x+y=1，

2x-y=5.的解是 （ ）.

A. x=-1，

y=2.

B. x=-2，

y=3.

C.x=2，

y=1.

D. x=2，

y=-1.

【错解】A或B或D.

【分析】A和B答案只满足了方程组中的一个方程.

【正解】二元一次方程组的解是使方程组中每一个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，而x=-1，

y=2.和x=-2，

y=3.都只是方程组x+y=1，

2x-y=5.中一个方程的解，并不能让另一个方程的左右两边相等，所以不是方程组的解，因此答案是D.

3. 二元一次方程组的解法掌握不熟练

例3 用代入法解方程组2x+y=4，

x+2y=5.

【错解】由方程组②得x=5-2y③，把③代入②得，5-2y+2y=5，所以0×y=0，因此y可以是任意值，所以该方程组有无数个解；

【分析】代入法是求二元一次方程组的解的一种基本方法. 它的一般步骤是：（1） 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，如本题中方程②中的x，用含y的代数式表示为x=5-2y；（2） 将这个变形所得的代数式代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；这里要求代入“另一个”方程，“误解”把它代入到变形的同一个方程中，得到了一个关于y的恒等式，出现了错误. （3） 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4） 将求出的未知数的值代入前面变形所得的式子中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.

【正解】由方程组②得x=5-2y③，把③代入①得，2（5-2y）+y=4，解得y=2，把y=2代入③得x=1，所以原方程组的解为x=1，

y=2.

例4 解方程组4x-3y=5，

4x+6y=14.

【错解】由①-②得3y=-9，解得y=-3，把y=-3代入①得x=-173.

【分析】①-②时出现错误.

【正解】由①-②得-9y=-9，解得y=1，代入①得x=2，所以方程组的解为x=2，

y=1.

4. 考虑问题不全面，忽视隐含条件

例5 已知方程组（a+2）x=3，

2x+（a-3）y↑a↑2-3=0.是二元一次方程组，求a的值.

【错解】由条件得，a↑2-3=1，a=±2，所以a的值为2或者-2.

【分析】由二元一次方程组的定义可知，a+2≠0，a-3≠0，即a≠-2，a≠3，而本题忽略了题目中的隐含条件

【正解】由条件得，a↑2-3=1，a=±2，当a=-2时原方程组不是二元一次方程组，所以a=2.

以上一些典型错误是在平时教学中学生常见的问题，分析错误的原因多是学生的知识理解不够透彻，或者是审题不清，通过对错误原因的分析，帮助学生逐渐形成良好的知识结构和严谨的思维品质，从而避免以上错误的发生.

“二元一次方程组”课本习题拓展探究

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）

徐 亮

课本的习题是数学知识、解题策略和思想方法的有机结合，具有基础性、启发性、示范性，很多同学往往会认为其简单而忽视，然而很多中考试题就是在课本习题的基础上通过变式、拓展演变而来，因此重视对课本习题的研究与应用有着重要的价值，本文以“二元一次方程组”一章中的一道课本习题为例，对练习进行一些拓展探究，供同学们学习参考.

原题 （苏科版教材七下第十章107页练一练2）一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果把它的个位数字与十位数字对换，那么所得的两位数比原数大45，求这个两位数.

【解析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得x+y=7，

（10y+x）-（10x+y）=45.解得x=1，

y=6.所以这个两位数是16.

【说明】解决两位数问题时，通常先设出某个位上的数字，然后借助题中的条件表示出另外一个位数上的数字，根据题中的数量关系列出方程或方程组加以求解.

变式1 有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.

【解析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y. 根据题意，得y=x+5，

（10y+x）+（10x+y）=143.解这个方程组得x=4，

y=9.所以这个两位数为4×10+9=49.

【说明】变式1是将原题中的数量关系作了一些变化，由变式1可知，涉及两位数的计算问题要把握住两个相等关系：（1） 个位数字—十位数字=5；（2） 新数+原数=143. 根据这两个相等关系，可通过设十位数字为x，个位数字为y，列方程组求得十位数字和个位数字，然后确定两位数.

变式2 有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.

【解析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，

则可列方程组为10x+y=4（x+y），

y=x+2.

解这个方程组得x=2，

y=4.，所以这个两位数为24.

变式3 有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数.

【解析】设这个两位数为x，这个一位数为y，根据题意，得 x+10y=146，

x-2=6y.解这个方程组得x=56，

y=9.所以这个两位数是56，一位数是9.

【说明】变式3中，根据条件一位数后面多写一个0，也就是这个一位数扩大了10倍，如果设两位数为x，一位数为y，则根据两个数的和为146可得x+10y=146；根据被除数=除数×商数+余数可得x=6y+2，由此可得到方程组.通过解方程组确定两位数和一位数.

变式4 一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数.

【解析】设百位数字为x，由十位和个位数字组成的两位数为y， 则原来的三位数为100x+y，对调的三位数为10y+x，则 9x=y-3，10y+x=100x+y-45，x=4，y=39，则原来的三位数为100x+y=4×100+39=439.

【说明】变式4是在两位数的基础上研究三位数问题，若已知一个三位数百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，则这个三位数可以表示为100a+10b+c.

总之，课本习题是教学的重要资源，同学们应多加重视，通过变式训练等途径对问题进行多角度、多层次的思考，以获得解决问题的方法，从而提高分析问题、解决问题的能力.