“二元一次方程组”在生活中的应用

王军

17世纪法国数学家、哲学家笛卡尔（1596～1650）曾经说过，“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解.”那么下面我们一起来研究几个有关二元一次方程组的运用事例.

例1 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

【分析】要求树上、树下各有多少只鸽子吗？就要设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，然后根据若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；列出一个方程，再根据若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多，列一个方程组成方程组，解方程组即可.

解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子.

由题意可：y-1=13（x+y），

x-1=y+1.解得x=7，

y=5.

答：树上原有7只鸽子，树下有5只鸽子.

解应用题的关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组. 所以做这类题读懂题意是关键，最主要的是从实际问题中找到两个相等关系，通过设适当的两个未知数，用含有未知数的代数式表示数量关系，列出两个二元一次方程.

例2 《群鸦栖树》

栖树一群鸦，鸦树不知数；

三个坐一棵，五个地上落；

五个坐一棵，闲了一棵树；

请你动脑筋，鸦树各几何？

大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦. 请问乌鸦和树各多少？

解：设乌鸦有x只，树有y棵. 由题意，得3x+5=x，

5（y-1）=x，解得x=20，

y=5.

答：乌鸦有20只，树有5棵.

【说明】古今中外流传着许多歌谣趣题，题目新颖别致，魅力无限，不仅内容朗朗上口，蕴含数学问题，而且需要具有一定的解题能力.

例3 八张扑克牌恰好可拼成一个大的长方形（图1），用同样的这八张牌可拼成一个大正方形，但中间留下一个边长为2 cm的小正方形（图2）. 你能算出每张扑克牌的长和宽吗？

解：设扑克牌的宽为x厘米，长为y厘米.

由题意，得3y=5x，

y+2=2x，解得x=6，

y=10.

答：扑克牌的宽为6厘米，长为10厘米.

通过三个例题的分析后，引导学生发现解决问题的方法，关键是由实际问题向数学问题的转化过程. 让学生学会用数学建模的思想和方程的思想来解决问题. 从实际出发，让学生初步体会到数学与人们的日常生活的密切关系，并体会数学在社会生活中所起的作用，使学生学会从数学的角度去分析和解决简单的实际问题.

中考中的二元一次方程（组）

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）

许 峰

二元一次方程（组）是初中数学的重要内容，也是中考的必考内容，各省市的中考试题中各种题型都有出现这部分内容试题，综合分析试题，一般考查这几方面：（1） 二元一次方程的定义的考查；（2） 二元一次方程解的不定性的考查；（3） 二元一次方程组的解的概念的考查；（4） 二元一次方程组的两种解法的考查掌；（5） 二元一次方程组综合与实际应用的考查. 下面分别就这几个方面举例分析，希望能够帮助同学的学习.

一、 二元一次方程的定义的考查

1. （2013·安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b=______.

解：根据题意得：a+2b-5=1，

3a-b-3=1，解得：a=2，

b=2. 则a-b=0. 故答案是：0.

【点评】主要考查二元一次方程的概念与解二元一次方程组，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程. 根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得.

二、 对二元一次方程解的不定性的考查

2. （2014·黑龙江龙东地区）小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买______支.

【解】设买中性笔x支，橡皮y支. 则由题得：2x+y=7，变形为y=7-2x因为两种文具都买，所以x、y皆为正整数，解得x=1，

y=5，x=2，

y=3，x=3，

y=1.

【点评】此题主要考查了列二次元一次方程与二元一次方程解的不定性的考查，根据小明所带的总钱数以及中性笔与橡皮的价格，可以列出方程，再根据限制两种文具都买，得出符合题意的答案. 正确分类讨论是解题关键.

3. （2014·滨州）王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳同学花了10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，余下的钱少于0.8元）（ ）.

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

解：设购买x只中性笔，y只笔记本，根据题意得出9.2<0.8x+1.2y≤10，

当x=2时，y=7，当x=3时，y=6，当x=5时，y=5，当x=6时，y=4，当x=8时，y=3当x=9时，y=2，当x=11时，y=1，故一共有7种方案. 故选：B.

【点评】此题主要考查了列二次元一次方程与二元一次方程解的不定性的考查，得出不等关系是解题关键.

三、 对二元一次方程组解的考查

4. （2014·威海）解方程组：3x-5y=3，

x2-y3=1.

解：方程组整理得：3x-5y=3，①

3x-2y=6.②

②-①得：3y=3，即y=1，将y=1代入①得：x=83，则方程组的解为x=83，

y=1.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

5. （2014·山东东营）如果实数x，y满足方程组x+3y=0，

2x+3y=3.那么代数式xyx+y+2÷1x+y的值为______.

解：原式=xy+2x+2yx+y·（x+y）=xy+2x+2y，

方程组x+3y=0，

2x+3y=3.解得：x=3，

y=-1.当x=3，y=-1时，原式=-3+6-2=1. 故答案为：1.

【点评】此题考查了分式的化简求值与解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值.

四、 对二元一次方程组与学科内的结合的考查

6. （2014·毕节地区）若-2a↑mb↑4与5a↑n+2b↑2m+n可以合并成一项，则m↑n的值是（ ）.

A. 2

B. 0

C.-1

D. 1

解：若-2a↑mb↑4与5a↑n+2b↑2m+n可以合并成一项，可知是同类项，由同类项概念可知m=n+2，

2m+n=4.解得m=2，

n=0.m↑n=2↑0=1，故选：D.

【点评】本题考查了同类项的概念与列解二元一次方程组，同类项是字母相同且相同字母的指数也相同是解题关键. 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，列出方程组，得m、n的值，根据乘方，可得答案.

7. （2014·孝感）已知x=-1，

y=2.是二元一次方程组3x+2y=m，

nx-y=1.的解，则m-n的值是（ ）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解：将x=-1，y=2代入方程组得：-3+4=m，

-n-2=1.解得：m=1，n=-3，

则m-n=1-（-3）=1+3=4. 故选D.

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解的概念与解法，解方程组的基本思想是消元，正确解方程组是关键. 将x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出m-n的值.

8. （2014·贵州安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足2a-3b+5+（2a+3b-13）↑2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）.

A. 7或8

B. 6或11

C. 6或7

D. 7或10

【解】∵2a-3b+5+（2a+3b-13）↑2=0，

∴2a-3b+5=0，

2a+3b-13=0.解得a=2，

b=3.

当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；

当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；

综上所述此等腰三角形的周长为7或8. 故选A.

【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握. 先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长.

五、 对二元一次方程组应用的考查

9. （2014·苏州）某地准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通. 若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天. 设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x+y）的值为______.

解：设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，由题意，得

4x+9y=120，

8x+3y=120.解得：x=12，

y=8.∴x+y=20.

故答案为：20.

【点评】本题考查了列二元一次房产界实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程问题的数量关系的运用，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键. 设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，就有4x+9y=120，8x+3y=120，由此构成方程组求出其解即可.

10. （2014·益阳）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段＼&销售数量＼&销售收入＼&销售数量＼&A种型号＼&B型号＼&第一周＼&3台＼&1 800元＼&5台＼&第二周＼&4台＼&3 100元＼&10台

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）

（1） 求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2） 若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3） 在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1 400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

解：（1） 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，

依题意得：3x+5y=1 800，

4x+10y=3 100.解得：x=250，

y=210.

答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；

（2） 设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台.

依题意得：200a+170（30-a）≤5 400，解得：a≤10.

答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5 400元；

（3） 依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a）=1 400，

解得：a=20，∵a>10，∴在（2）的条件下超市不能实现利润1 400元的目标.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解.

（1） 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1 800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3 100元，列方程组求解；

（2） 设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5 400元，列不等式求解；

（3） 设利润为1 400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标.