一题多变,思维发散

2015-09-10 15:02司琪
考试周刊 2015年67期
关键词:平方和乘积正数

司琪

1.知识具备

x ≥0→(a-b) ≥0→a +b -2ab≥0,即:

(1)a +b ≥2ab,注意乘积为定值,平方和有最小值,当且仅当a=b时取等号.

(2)ab≤ ,注意平方和为定值,乘积有最大值,当且仅当a=b时取等号.

若a、b∈R ,则有:

(3)a+b≥2 ,乘积为定值,和有最小值,当且仅当a=b时取等号.

(4)ab≤( ) ,和为定值,乘积有最大值,当且仅当a=b时取等号.

2.习题训练

(1)已知mn=10,求m +n 的最小值.

解:m +n ≥2mn,当且仅当m=n= ,即m +n =2mn=20时,m +n 有最小值为20.

例1:已知xy=4,z=4x +y ,求z的最小值.

例2:求函数y=x + (x≠0)的值域.

(2)已知m +n =100,求mn的最大值.

解:mn≤ =50,当且仅当m=n=5 时mn有最大值为50.

例1:已知4a +b =100,求ab的最大值.

例2:已知a +b =10,求 ab的最大值.

(3)求函数y=x+ (x≠0)的值域.

解:当x>0时,x+ ≥2 =2,当且仅当x= 即x=1时有最小值2;

当x<0时,-x>0,故x+ =-[(-x)+ ]≤-2 =-2,当且仅当-x= 时即x=-1时有最大值-2.

综上,y∈(-∞,-2]∪[2,+∞).

例1:已知正数xy=4,求2x+y的最小值.

例2:已知正数xy=16,求3x+2y的最小值.

例3:已知a+b=2,求2 +2 的最小值.

例4:已知正数x、y满足2x+3y=4,求 + 的最小值.

例5:已知正数x、y满足 + =4,求2x+y的最小值.

例6:已知点P(2,3)在直线ax+by-9=0上,求 + 的最小值.

例7:求函数y= (x≥-1)的最小值.

例8:求y= + (0

(4)已知x+y=10,求xy的最大值.

解:xy≤( ) =25,当且仅当x=y=5时xy有最大值为25.

例1:已知2x+y=20,求xy的最大值.

例2:已知正数x、y满足3x+2y=12,求xy的最大值.

例3:已知正数a、b满足a+b=100,求lga+lgb的最大值.

例4:已知正数m、n满足m+n=4,求log m+log n的最大值.

例5:已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,求a+b的最小值.

例6:已知a>0,b>0,且2a +b =3,求a 的最小值.

参考习题:

1.已知正数x、y满足x+4y=1,求 + 的最小值.(答案:9)

2.若直线2ax+by-2=0,(a,b∈R )平分圆x +y -2x-4y-6=0,求 + 的最小值.(答案:3+2 )

3.函数y=a -2(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求 + 的最小值.(答案:8)

4.已知x>0,y>0,且x+y=4,若不等式 + ≥m恒成立,求m的取值范围.(答案: )

5.已知x>1,y>1且lgx+lgy=4,求lgx·lgy的最大值.(答案:4)

6.已知a+b=3,求2 +2 的最小值.(答案:4 )

7.已知a>1,且ab-4a-b+1=0,求(a+1)(b+2)的最小值.(答案:27)

8.已知a>b>0,求a+ 的最小值.(答案:3)

9.已知lgx+lgy=2,求 + 的最小值.(答案: )

10.当点P(x,y)在直线x+3y=2上移动时,求z=3 +27 +1的最小值.(答案:7)

11.已知x>2,求y=x+ 的最小值.(答案:6)

12.一批救灾物资随26辆车从某市以v公里/小时的速度直达灾区.已知两地公路线长400公里,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于( ) 公里.求这批物资全部运到灾区,至少需要几个小时?(答案:10)

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