一题多变，思维发散

司琪

1.知识具备

x ≥0→（a-b） ≥0→a +b -2ab≥0，即：

（1）a +b ≥2ab，注意乘积为定值，平方和有最小值，当且仅当a=b时取等号.

（2）ab≤ ，注意平方和为定值，乘积有最大值，当且仅当a=b时取等号.

若a、b∈R ，则有：

（3）a+b≥2 ，乘积为定值，和有最小值，当且仅当a=b时取等号.

（4）ab≤（ ） ，和为定值，乘积有最大值，当且仅当a=b时取等号.

2.习题训练

（1）已知mn=10，求m +n 的最小值.

解：m +n ≥2mn，当且仅当m=n= ，即m +n =2mn=20时，m +n 有最小值为20.

例1：已知xy=4，z=4x +y ，求z的最小值.

例2：求函数y=x + （x≠0）的值域.

（2）已知m +n =100，求mn的最大值.

解：mn≤ =50，当且仅当m=n=5 时mn有最大值为50.

例1：已知4a +b =100，求ab的最大值.

例2：已知a +b =10，求 ab的最大值.

（3）求函数y=x+ （x≠0）的值域.

解：当x>0时，x+ ≥2 =2，当且仅当x= 即x=1时有最小值2;

当x<0时，-x>0，故x+ =-[（-x）+ ]≤-2 =-2，当且仅当-x= 时即x=-1时有最大值-2.

综上，y∈（-∞，-2]∪[2，+∞）.

例1：已知正数xy=4，求2x+y的最小值.

例2：已知正数xy=16，求3x+2y的最小值.

例3：已知a+b=2，求2 +2 的最小值.

例4：已知正数x、y满足2x+3y=4，求 + 的最小值.

例5：已知正数x、y满足 + =4，求2x+y的最小值.

例6：已知点P（2，3）在直线ax+by-9=0上，求 + 的最小值.

例7：求函数y= （x≥-1）的最小值.

例8：求y= + （0

（4）已知x+y=10，求xy的最大值.

解：xy≤（ ） =25，当且仅当x=y=5时xy有最大值为25.

例1：已知2x+y=20，求xy的最大值.

例2：已知正数x、y满足3x+2y=12，求xy的最大值.

例3：已知正数a、b满足a+b=100，求lga+lgb的最大值.

例4：已知正数m、n满足m+n=4，求log m+log n的最大值.

例5：已知a>0，b>0，且ab=a+b+3，求a+b的最小值.

例6：已知a>0，b>0，且2a +b =3，求a 的最小值.

参考习题：

1.已知正数x、y满足x+4y=1，求 + 的最小值.（答案：9）

2.若直线2ax+by-2=0，（a，b∈R ）平分圆x +y -2x-4y-6=0，求 + 的最小值.（答案：3+2 ）

3.函数y=a -2（a>0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求 + 的最小值.（答案：8）

4.已知x>0，y>0，且x+y=4，若不等式 + ≥m恒成立，求m的取值范围.（答案： ）

5.已知x>1，y>1且lgx+lgy=4，求lgx·lgy的最大值.（答案：4）

6.已知a+b=3，求2 +2 的最小值.（答案：4 ）

7.已知a>1，且ab-4a-b+1=0，求（a+1）（b+2）的最小值.（答案：27）

8.已知a>b>0，求a+ 的最小值.（答案：3）

9.已知lgx+lgy=2，求 + 的最小值.（答案： ）

10.当点P（x，y）在直线x+3y=2上移动时，求z=3 +27 +1的最小值.（答案：7）

11.已知x>2，求y=x+ 的最小值.（答案：6）

12.一批救灾物资随26辆车从某市以v公里/小时的速度直达灾区.已知两地公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（ ） 公里.求这批物资全部运到灾区，至少需要几个小时？（答案：10）