王杏 周仁国 翁小勇
摘 要: 立体几何中最值问题可通过引入几何变量,建立变量间的函数关系,再有效利用均值不等式解决问题,也可采用化归的思想方法,将立体几何问题转化为平面几何问题。本文拟通过一道立体几何的最值问题,探讨用均值法与导数法解决此类问题的优缺点。通过比较发现,导数法是解决立体几何最值问题较快捷、有效又易理解的一种方法。
关键词: 定义法 均值不等式 求导法 立体几何
1.引言
求解最值问题通常在函数中出现,常用方法有均值法、导数法、函数单调性等。对此,许多专家学者已研究得十分成熟,而对立体几何的研究并不多见。因此,通过对立体几何的最值问题,通过对比均值法和导数法发现导数法是较快速、简捷、有效的方法。
2.均值法与导数法的比较研究
案例:现有一矩形铁皮,其长为30cm,宽为14cm,将其从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,然后将余下部分折叠为一个无盖铁盒,问x为何值时铁盒的容积最大,并求出最大容积。
分析:对于立体几何问题求最值,可由已知条件选取恰当变量建立函数关系,将生活中的立体几何问题转化为对函数最值的研究,体现等价转化的数学思想。
(均值法)本例可根据已知条件建立的函数关系式,根据使用均值不等式的条件,引入待定系数a、b,消掉x,从而使问题获解。
依题意,设铁盒高为x cm,则底面长为(30-2x)cm,宽为(14-2x)cm。
∴铁盒容积V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x
显然:15-x>0,7-x>0,x>0
设V= (15a-ax)(7b-bx)x(a>0,b>0),则
根据“均值”不等式积有最大值,则需满足“一正二定三相等”的条件,即
-a-b+1=015a-ax=7b-bx=x
解得,a= ,b= ,x=3
从而V= ( - )( - )x≤ ( )=576(a>0,b>0)
当且仅当x=3时,V(x)取得最大值576cm (注:此例可设V(x)= (15a-ax)(7-x)bx,V(x)= (15-x)(7a-ax)bx(a>0,b>0),同理,根据均值不等式的使用条件“一正二等三相等”列出方程组,解出a、b、x。)
(导数法)V(x)=4(15-x)(7-x)x=4x -88x +420,0 令V′(x)=12x -176x+420=0 解得x=3或x= >7(不符合题意,舍去) 当x<3时,V′(x)>0,V(x)为增函数;当x>3时,V′(x)<0,V(x)为减函数;因此,当x=3时取最大值,即V =4(15-3)(7-3)3=576cm 。 实际上,这是教学中学数学思想方法之“待定系数法”时的一道例题,旨在通过均值不等式“一正二定三相等”的使用条件,突出待定系数法在立体几何中的应用。但在此解法中,对于学生而言,引入待定系数,巧妙构建函数的一次项系数之和为0是非常困难的。而学生采用导数法求解问题,反倒使问题更简便,更容易理解与掌握。 3.结语 通过将立体几何问题转化为代数问题,建立函数模型,根据导数的几何意义,找到的极值点,从而判断该极值點是最大(或小)值,解决问题。由此可见,导数法不仅可用于函数中求单调性和最值,在立体几何中也能发挥独树一帜的作用。 参考文献: [1]郑德琴.浅谈待定系数法在数学解题中的应用[J].希望月刊,2007(8). [2]施建华.高考立体几何与导数结合求最值的例题分析[J].考试周刊,2009(12).