基于材料力学经典教材中应力定义的探讨

田燕萍 刘婷婷

摘 要： 本文对当前材料力学经典教材中应力的定义和描述进行了讨论，针对其中可能引起的谬误进行了相应分析，新的定义相对简洁，克服了原来定义中存在的问题。

关键词： 材料力学 平均应力 极限 应力

应力是材料力学中非常基本和重要的概念[1]。现有的材料力学教材中，对于应力的定义和描述有一些谬误和含混不清，易让初学者疑惑甚至理解错误。本文将指出其中的问题，并提出一种更合理的定义和描述方式供材料力学教育工作者和学习者参考。

1.材料力学经典教材中对应力的定义

首先以被各大高校广泛采用的刘鸿文教授的材料力学教材为例[2]，阐述现今普遍采用的定义和描述应力的方式。

首先，为了说明截面上各处材料的受力强度，引入内力集度，即内力集中程度的概念。设在某受力构件的m-m截面上，围绕一点取微小面积ΔA，该微小面积ΔA上内力的合力为ΔF，则单位面积上内力的平均集度为p = ，也称为平均应力。当ΔA→0时，极限值p= 是该点处内力的集度，称为该点的应力。由此得到应力的定义，简单地理解为面积趋为零的极限，有的教材上还直接写成p= 。

这些教材指出，按照这里给出的定义，当该微小面积ΔA→0时，ΔA上的内力的极限状态将是一个力，而不是一个力和一个力偶，即暗示ΔA上的内力对ΔA内任一点的力矩都等于零。

通过理论力学的知识，m-m截面受到空间任意力系的作用，那么围绕截面上某点的微小面积ΔA上所受的是空间任意力系作用，存在如下几个问题：

（1）在截面上不同的位置，截面所受力是不一样的；在截面上不同的面积上，所受力是不一样的；即使是面积大小相同，但形状不同的话，所受力也是不一样的，即力ΔF是不依赖于面积ΔA而存在的。综上所述，即使该面积小到趋近于零， 也不一定会收敛于同一值。

（2）数学上对极限的定义为：设函数f（x）在点x 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x |<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-a|<ε，那么常数a就叫做函数f（x）当x趋于x 的极限，记作 f（x）=a。将上述定义对应至材料力学应力定义中，平均应力 应为ΔA的函数，那么在面积ΔA为零的邻域内应满足上述极限的定义。材料力学中一条非常重要的假设是材料的连续性假设，那么在面积为零及其无限小的邻域内，该假设就不再适用，这样势必导致材料力学整体理论框架错误。

（3）力ΔF是不依赖于面积ΔA存在的，即ΔF不是ΔA的函数，是否还能用一阶导数 表示应力？

2.应力定义的完善

上述问题的存在，导致在课堂中教师讲解不清楚，学生也很疑惑。为了克服上述问题，本文对应力的定义作了如下修改：

首先，从轴向拉压杆的变形出发引入，通过观察和实验可以知道，杆的横截面上每一点内力的强弱程度是一样的，这样可以引入内力平均集度，即平均应力的概念，同样为p = 。在其他杆件中，如弯曲变形杆中，横截面上的不同点也有内力强弱程度之分，但每一点的强弱程度又不一样，因此提出一种类似于轴向拉压杆的平均应力的定义，把某一点附近一“小面积”上的内力的平均定义为平均应力。对于应力，还是采用经典教材中的极限定义，但是做出如下修改：

当ΔA→ε时，极限值p= 是某点处内力的集度，称为该点的应力，而ε約为100倍原子尺度 。

这样既沿用了原来的极限定义，又回避了与连续性假相冲突的问题，还应用了统计学的知识，这里ΔA为该点附近一有限面积，不再是趋于零的一个数，在这个面积内，不管所取的面积形状如何，经过统计，该点应力的值都趋于一常数，当然导数表示法 存在的问题不会出现。

3.结语

本文对材料力学经典教材中应力的定义进行了改进，避免了原来定义中的混淆不清和谬误。新的定应义既沿用了原来定义中极限的采用，又克服了原来定义中的问题，简单并且易于理解。

参考文献：

[1]S.铁摩辛柯，J.盖尔.材料力学.科学出版社，1978.

[2]刘鸿文.材料力学（第5版）.高等教育出版社，2011.

[3]冯元桢.连续介质力学导论.科学出版社，1984.