多元函数的极值与最值

徐秋仓

摘    要： 本文通过几个例子的讨论说明求多元函数的极值与最值比求一元函数极值与最值要复杂得多，某些一元函数求极值与最值的方法及结论对多元函数并不适用，因此在解题时要特别注意.

关键词： 驻点    极值    最值

我们在学习多元函数的微积分学时知道，讨论多元函数的微分及其应用时以二元函数为主，因二元以上的函数的微分理论可以由二元函数的微分理论直接类推.一元函数到二元函数则不同，有些知识可以由一元函数的理论直接类推得到，但有些知识从一元函数类推到多元函数会产生新的问题.因而如果用一元函数的一些结论解决多元函数的问题，就会出现错误认识.本文就关于求多元函数的极值与最值问题容易出现的错误认识做了探讨.

判断一元函数极值点的一般方法是：首先找出函数的驻点和一阶导数不存在的点.其次由极值存在的第一充分条件来判断，若某点左右两侧的导数符号相反，该点一定是极值点.最后再具体判断出是极小值点还是极大值点，从而求出函数的极值.

求可导的一元函数在闭区间[a，b]上的最值的一般方法是：首先找出函数在区间内的一切驻点（即导数为零的点），然后求出这些驻点和區间端点处的函数值，再进行比较，最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.

关于一元函数的极大值与极小值和最大值与最小值，我们有这样的命题.

命题一：若函数y=f（x）在区间I（有限或无穷，开或闭）上连续，若y=f（x）在I内两点x，x（x

命题二：若函数y=f（x）在区间I（有限或无穷，开或闭）上可微，又在I内有唯一驻点x且为极值点，则x就是y=f（x）在区间I上的最值点.

这两个命题的几何意义非常明显，且很容易证明.因此，在学习多元函数的极值和最值的过程中，如果也按一元函数的理论理解上述两个命题，就很容易产生以下错误认识.

（1）若函数z=f（x，y）在闭区域D内可微且有多于两个极大值（或极小值）点，那么在D内，函数在闭区域D内至少存在一个极小值（极大值）点.

（2）若函数z=f（x，y）在有界闭区域D内可微且有唯一的驻点（x，y）（f（x，y）=f（x，y）=0）且是函数的极大值点（或极小值点），则该点必是函数的最大值点（或最小值点）.

以上结论对多元函数都不成立.

对于错误认识（1），我们有这样的例子.

例1：讨论函数z=f（x，y）=（1+e）cosx-ye的极值.

解：函数的定义区域是整个平面.

求驻点，解方程组

f（x，y）=-（1+e）sinx=0f（x，y）=e（cosx-1-y）=0

得无数个驻点（kπ，（-1）-1）    k∈Z，

由f（x，y）=-（1+e）cosx，f（x，y）=-esinx，f（x，y）=e（cosx-2-y）

可知在点（2kπ，0）处：

在点（（2k-1）π，-2）处：

f（（2k-1）π，-2）-f（（2k-1）π，-2）·f（（2k-1）π，-2）=e（1+e）>0，函数无极值.

故可知此函数在全平面上有无穷多个极大值，但没有极小值.考察此函数的曲面形态，我们会发现，函数在全平面上的无数个极大点对应曲面上无数个小“山包”，任意两“山包”之间有沟，这些沟都有“斜坡”向下，不能形成“盆地”，故函数没有极小值.

对于错误认识（2），我们讨论下例.

例2：设z=f（x，y）=8x+y-xy-8x，D：|x|≤，|y|≤.

解：求驻点，解方程组

f（x，y）=16x-y-24x=0f（x，y）=y-x=0

得两个驻点（0，0）和，2.但，2不在D内，故在D内仅有唯一驻点（0，0）.

f（x，y）=16-48x    f（x，y）=-1     f（x，y）=

在（0，0）点处，由f（0，0）-f（0，0）·f（0，0）=-3<0，f（0，0）=16>0，可以判定（0，0）为f（x，y）在D内的唯一极小值点.但可以求出f（x，y）在边界点，处取得最小值，f，=π-π<0，因此f（0，0）=0并非最小值.

由例2可知z=g（u，v）在全平面上仅有一个驻点（0，0）且在该点处由

g（0，0）=16，g（0，0）=-1，g（0，0）=，

g（0，0）-g（0，0）·g（0，0）<0，g（0，0）=16>0，

可以判定（0，0）为z=g（u，v）在全平面内的唯一极小值点，g（0，0）=0是极小值.但它并不是最小值，如z=g（tan1，tan1）=8-1-8=-<0.显然函数的最小值不存在，因为全平面是开区域，若有最小值，则一定是内点，是域内的极值点，但前面已证明域内极小值点不是最小值点.观察这样函数的曲面模型，我们可以看到显然在极小值点处可以形成“盆地”，但在它周围的高地以外有“斜坡”伸延到更低的地方，若区域有界，则最低点就在边界上.

由以上讨论可以看出，多元函数的极值和最值问题要比一元函数的情况复杂得多.即便在有界闭区域的边界上有限个点的函数值都大于区域内点的函数值，也不能做出区域内必有极小值点的判断，更不能得出最小值一定在区域内的结论.对极大值也是如此.所以对一般多元函数求最值的方法是首先找出函数在区域内的驻点和边界上的最值点，然后比较它们的函数值确定函数的最值点.在解决具体的实际问题中，如果根据问题的性质，我们确实可以肯定函数是在区域内部取得最值时，才能利用域内有唯一驻点且是极值点而得出此点即为最值点的结论.

参考文献：

[1]高等数学.同济大学数学教研室.高等教研出版社，1982.

[2]钱吉林，等.数学分析题解精粹.崇文书局，2003.