加减法运算意义学习理解中形成的“情境原型”研究

张岭

“四则运算”即加、减、乘、除四种运算，本文要研究的并不是如何去计算“加减法”，而是在什么问题情境下需要用加法，什么问题情境下需要用减法，即运算的意义。它是和学生解决问题直接相关的。而“情境原型”指的就是与加、减、乘、除这四种一步运算相对应的现实情境。学生在小学阶段学习和理解运算意义的过程中，必然要依托于一些现实情境。

一、研究背景

在下校听课和与教师的交流过程中，我们了解到：传统的“应用题教学”主要是按照“类型”来教学，总结了十一种简单应用题的类型，如“已知一个数的几倍是多少，求这个数”用除法。学生问题的解决需要经过“问题情境→问题类型→运算意义”这样的过程。而教学中教师过多地强调“问题类型”，反而造成了学生对“问题情境”和“运算意义”的割裂，不利于学生真正地解决问题。现在随着课程改革的推进，传统的“应用题教学”变为了“解决问题”，教材也发生了翻天覆地的变化。“解决问题”也成为了教学的难点，许多教师不知如何把握。大多数教师还存在着穿新鞋走老路的现象，还并不是真的了解学生是如何理解运算意义的，同时在学生学习理解四则运算意义中都形成了哪些“情境原型”？只有当教师真正了解了这些，才能够更有效地进行教学活动。

因此，我们会将研究的目光更多地集中在学生身上，进行有针对性的实证研究，填补我国在这一方面的研究空白。那么，学生都形成了哪些不同的“情境原型”？哪些“情境原型”是这些原型中最主要的？学生对哪些原型有困难？这些问题将是我们研究的主要问题。

二、对加减法情境原型的认识

郑毓信教授编写的《国际视角下的小学数学教育》一书，在第10章介绍了由美国数学教师专业委员会组织编写的《数学教与学的研究手册》，其中指出： 对正整数加减法现实意义而言，其情境原型主要有四种：聚合、比较、增加性变化、减少性变化。反映在教材中具体如下：

三、研究设计

（一）研究对象

考虑到测试学生的代表性，我们把调研对象确定为北京市远郊区县燕山、门头沟、延庆、平谷、房山这五个区县的一至三年级的部分学生。并采用了抽样的办法，随机抽取了这五个区县的各两所小学的同一年级各两个班的学生，学生总数为一年级527人、二年级552人、三年级532人。这些学生分别使用的是北京版和人教版的课改实验教材。

研究后期，我们还对北京市石景山区外语实验小学一年级和二年级中各一个班的学生进行了追踪访谈。

（二）研究方法

首先，我们期望通过大样本的测试，采集一些真实可信的数据，从一个侧面了解课改以来北京郊区小学生“情境原型”的建立情况。同时，我们还期望，通过后期对测试情况的分析和个案访谈，进一步了解学生用加减法原型解决问题中的主要困难，探查影响学生解决问题能力的可能原因。

1.前期大样本测试的目的

（1）测试北京市远郊区县小学一至三年级学生的加、减法情境原型的掌握情况，了解其是否能够正确解决相关问题。

（2）了解学生熟悉和喜欢的加、减法情境原型主要是什么。

（3）对比不同版本教材、不同年级学生的情境原型建立情况有无差异。

（4）积累学生的错例，分析发现学生的主要困难。

2.后期访谈的目的

（1）进一步了解学生用加减法解决问题中的原始经验及遇到的主要困难。

（2）分析学生学习“比较”原型问题的主要路径。

（三）测试和访谈题目

本次测试我们主要采用看算式编实际问题和解决一步的实际问题两种类型。

1. 看算式编实际问题

了解学生熟悉和喜欢的加、减法情境原型主要是什么，及对比各年级间有无差异。因此，一至三年级各年级的题目形式基本相同，题目差异不大。考虑到低年级学生的年龄特点，前两个加、减法算式要求学生画图表示算式的意思；而后两个算式要求学生每个算式编两个实际问题，主要是想了解学生建立的情境原型是否丰富。题目如下：

（1）请你画一个图表示3+5。

（2）请你画一个图表示6-2。

（3）写出两个需要用“9+4”解决的实际问题。（不会写的字可以用拼音）

（4）写出两个需要用“8-5”解决的实际问题。

2. 解决一步的加减法问题（题目见后面正确率表格）

主要考查学生解决不同的情境原型，如“聚合”“比较”“增加变化”“减少变化”等各种一步加减法实际问题的情况。一、二年级每个年级各出10道小题，各种不同的情境原型根据学生学习的情况分别占有一定的比例。如一年级学生主要学习和接触的是聚合的原型，所以较多地考察了聚合的原型；二年级学生重点学习了比较的原型，因此10道题中有4道是比较原型。同时，同一原型的不同题目在设计中既有用加法解决，也有用减法解决。另外，在设计题目的过程中，也参考了原来我们常说的11种基本应用题类型。比如：已知两部分的和及其中的一部分，求另一部分，或求比一个数多几的数，等等。通过这样的测试来了解学生情境原型的掌握情况及主要困难。

3. 试测

为了保证测试的有效性，我们进行了两次试测。第一次试测选择了石景山区外语实验小学一至三年级中各一个班的学生，本次测试的目的主要是检验测试题目的有效性和准确性。通过任课教师认定，测试结果符合学生的一贯表现，测试题目达到需要的信度和效度。本次测试我们从中发现学生形成的情境原型的一些基本情况，以及主要的原型。第二次测试选择了石景山区金顶街第二小学的一至三年级中各两个班的学生。本次测试由负责正式测试的郊区县教师进行组织，主要目的是让他们经历测试的过程，以保证正式测试中施测程序的正确性。

4. 测试的计分和解释

本次测试的题目中每一题都体现了不同的原型或类型，因此为了反映各种不同原型的掌握情况，在计分时并没有采用核算总分的方式，而是对每一题的正确率进行了分别统计。而学生解决某一类型题目的正确率达到了85%以上，就可以评定为学生对这一原型基本建立。（此标准的确定，参照了数学学科考试说明中的小学生的学业评价标准，同时征求了部分一线教师的意见）

5. 访谈

为了进一步了解学生在解决比较关系原型的问题中的主要困难及解决问题的路径，我们对学生进行了访谈。

访谈提纲：

（1）读题，解释题意。

（2）说说你是怎么想的。

（3）进一步追问为什么选择加法或减法。

（4）适时提供一些帮助，如画图或举例子等。

四、学生“情境原型”的测试结果分析

（一）解决加、减法问题的测试结果及分析

1. 各年级题目正确率

（1）一年级测试各题正确率（测试总题数：10道；总人数：527人）。

序号 题目 正确率

1

97.91%

2

96.96%

3

97.15%

4

比多棵。 96.96%

5 小明有6条红金鱼和3条黄金鱼，他一共有几条金鱼？ 99.43%

6 有8只小鸟，飞走了5只。还剩下几只？ 97.91%

7 要有9人来踢球，现在来了6人。有几个人没来？ 88.05%

8 有3只蝴蝶，又飞来4只，现在有几只蝴蝶？ 98.48%

9 两个小组一共有10人，我们组有6人，另一组有几人？ 86.91%

10 一些青蛙在荷叶上，跳入水中3只后，还剩2只，原来荷叶上有几只青蛙？ 92.79%

（2）二年级测试各题正确率（测试总题数：10道；总人数：553人）。

序号 题目 正确率

1 小明有6条红金鱼和13条黄金鱼，他一共有几条金鱼？ 98.19%

2 树上有12只小鸟，飞走了5只。还剩下几只？ 97.65%

3 要有16人来踢球，现在来了9人。有几个人没来？ 94.94%

4 有13只蝴蝶，又飞来8只，现在有几只蝴蝶？ 92.59%

5 小红有45元钱，比小明少10元，小明有多少元钱？ 68.17%

6 数学小组和航模小组一共有35人，数学小组16人，航模小组有多少人？ 94.03%

7 某农场今年栽树88棵，比去年多栽16棵，去年共栽树多少棵？ 88.07%

8 食堂新买来一些大米，一星期吃了46千克，还剩32千克，学校买来大米多少千克？ 86.62%

9 期末考试，王芳比李明的数学成绩少3分，李明考了95分，王芳考了多少分？ 91.68%

10 小军家养了35只白兔和42只黑兔，他家的黑兔比白兔多几只？ 92.59%

2. 测试结果分析

（1）学生的加、减情境原型基本建立，能够识别简单的加、减法情境，并解决问题。从各种加、减法原型的平均正确率可以看出各种原型问题的平均正确率都超过了85%。

（2）学生对于比较原型问题感到比较困难。比较原型问题的平均正确率只有87.49%，特别是对于如“小红有45元钱，比小明少10元，小明有多少元钱？”这样的比较原型问题，其正确率只有68.17%。

（3）学生在一年级解决问题过程中有24%的学生用到了类似方程的方法（见下图）；而二年级在解决问题过程中没有学生出现用这样方法。

（二）看算式编实际问题的测试结果及分析

1. 从统计结果可以看出，学生比较熟悉和喜欢的加法原型是“聚合”和“增加变化”；学生比较熟悉的减法原型是减少变化。如下面的实例：

一年级学生的加法原型：“增加变化”。

“合并或聚合”。

2. 使用北京版教材和人教版教材的学生无显著差异，而且这一结果和教材中呈现的不同原型问题比例相一致。

3. 发现不同的教学班之间存在着较大差异，反映出受教师教学的影响较大。

4. 部分学生建立了多种原型，即同一算式编出了不同原型的实际问题。一年级：有47人编出了两种加法原型的题目，有12人编出了两种减法原型的题目，合计占总人数的11.2%。二年级：有68人编出了两种加法原型，有22人编出了两种减法原型，合计占总人数的16.3%。三年级：有54人编出了两种加法原型，有31人编出了两种减法原型，合计占总人数的16%。可见二、三年级的学生比一年级学生积累的原型更丰富。

（三）学生的主要困难和错例积累

学生的主要困难还是在一些反序描述的情境及比较原型的问题上，下面将列举一些学生的错例。

错题举例：

一年级

二年级

此题正确率只有68.17%。

（四）初步访谈记录及进一步要研究的问题

在学生纸笔测试后，我们也进行了初步的访谈。发现学生形成了一些错误的定式，如“见多就加”“见少就减”“看见还剩就减”“见飞走就减”“看见一共就加”等等。

同时，对于比较不同原型的掌握情况的了解，我们发现学生对于比较原型的问题较大，即使学生到高年级也常常在遇到这类问题时出错。我们将“比较”原型的问题作为下一步的研究点。通过前后测对比及访谈了解学生的困难原因和学习路经。

五、“比较”原型学生的主要困难和思考路径

（一）通过访谈了解学生的主要困难

学生困难一：不能理解比较关系。

多数学生的困难表现在不理解比较关系。如访谈学生在理解“小亮跳了30个，小红比小亮少跳10个”时，学生往往理解为“小亮跳了30个，小红跳了10个”，说明他们对“小红比小亮少跳10个”这句话并不理解。一些在前测中列式正确的学生，当被问到算式中的各个数量表示什么时，也不能正确回答。如一支钢笔15元，比一支签字笔贵10元，一支签字笔多少元？学生列式：15-10=5，当问到10表示什么时，学生往往会回答表示“签字笔”的价钱。

学生困难二：不能把理解的问题用正确的算式表示出来。

例如下面的访谈过程：

生（叙述条件）：你有20个松果，我有25个，我比你多几个？我想就应该用20+25得出结果45。

师：什么叫我比你多几个？

生（举例）：比如说，我有3个苹果，你有6个苹果，6比3大，就是多。

师：怎么列式呢？

生：6+3=9。

师：你能画个图表示这个意思吗？

生（画图）：小明有3个洋葱，小聪有5个洋葱。小聪比小明多。（学生边画图边描述）

师：哪是多几个呀？（指图看，一一相对后多的部分）

生：2个。

师：怎么列式？

生：3+5=8。

师：看图是多2个吗？

生：是。

师：3+5不是多2个呀？你想怎么做？

生：应该是1+1=2。

师：为什么必须用加法？（再次指图进行提示，学生思考）

生：5减3再减2。

师：为什么再减2？5是什么？3是什么？

生：列式5-3=2。

这一位学生能够很好地理解比较关系，能够自己举例进行说明。但当他要把这一关系用算式表示时，他都表示为加法。可以看出他在用算式表示关系的过程中存在着障碍。老师已经引导他对结果进行比较“3+5不是多2个呀？你想怎么做”。学生知道开始的方法不对，但他还是首先想到用加法，“应该是1+1=2。”可以看出他能够正确理解比较关系，但不能选择正确的方法进行解答。

学生困难三：受一些错误思维定式的影响。

如见“多”加，见“少”减 。如下面访谈过程：

在跳绳比赛中小亮跳了30个，小亮比小红少跳10个，小红跳了多少个？

师：怎么列式？

生：应该用减法，30-10。

师：为什么用减法？

生：因为“小亮比小红少跳10个”，“少”应该用减法。

（二）学生学习的主要路径

在访谈的过程中，我们也有意识地引导学生进行分析，发现学生积累比较关系的经验很重要，而画图和模拟操作活动对学生正确理解比较关系会有很好的帮助。学生只有先正确理解比较关系，再将这种理解和所建立的加、减运算意义进行对接，才能正确解答问题。

下面列举一个学生对于“小亮有小汽车15辆，红红比小亮少5辆。红红有几辆小汽车？”这道题的表现。

学生先拿出15个白棋子，摆成一行。又拿出10个黑棋子，摆成一行。

教师让学生看着围棋子，并说明各表示什么。

生：15个白棋子表示小亮的小汽车，10个黑棋子表示红红的小汽车。

师：少的5个棋子在哪？

学生正确指出“空白处”，并列式：15-5=10。

此题学生借助操作得出答案，并且“反映”出用减法解决。实际上，学生正是通过经验、操作、画图等方式独立完成了题目，即使是对于困难较大的第5、6题（实际上，这一内容并不作为一年级每位学生都要掌握的内容），也有部分学生正确列式。

六、研究结论

（一）通过本研究了解学生加、减法原型的建立情况

从所调查的北京市五个郊区县的情况来看，学生的加减法原型基本建立。学生熟悉和喜欢的加法原型是“聚合”和“增加变化”；学生比较熟悉的减法原型是“减少变化”。而且随着学生年级的增长，学生的原型会不断地丰富。

相比正整数的加减法原型，学生对于比较原型问题会感到比较困难。

在对学生的情境原型建立情况进行差异比较中我们发现：使用北京版教材和人教版教材的学生无显著差异，而且这一结果和教材中呈现的不同原型问题比例相一致。而不同的教学班之间存在着较大的差异，反映出受教师教学的影响较大。

（二）通过本研究了解了学生用加、减法解决问题中的主要困难

学生用加减法解决问题时的主要困难有：对比较关系的理解，这也是最主要的困难；情境理解和运算意义的对接，即用什么方法解决什么问题；已形成的一些错误定式的影响。

（三）通过本研究了解了学生解决比较原型的学习路径

首先要正确理解题目中的比较关系，可以通过画图或模拟操作等方式；接着，再将这种理解和所建立的加减运算意义进行对接；最后选择方法。这里需要说明的是：我们通过多人次的前测访谈了解到，学生的思考过程并不需要套用原来的应用题类型，而且若学生形成了一些机械套用以前学过的类型的习惯，会给他正确分析比较关系应用题带来障碍。同时，我们要强调的是问题的理解和表征很重要，需要学生积累一定的比较关系的经验，并且注意在教学中利用好直观的学具及教具，做好直观学具与抽象算式的沟通。

（四）通过本研究了解了学生的真实学习情况

通过对学生进行的访谈活动，使我们真正看到了学生的困难。因此我们提出以下教学建议：

（1）要适时为学生提供多种不同的情境原型。

（2）要重视比较关系的经验积累。

例如，在人教版一年级教材中已经出现了如下图的一些比较关系的练习，教师可以引导学生进行编题练习，帮助学生积累比较关系的经验。

（3）要注重学生画图和模拟操作的活动。

（4）要防止机械训练使学生形成错误的定式。

参考文献：

[1] 郑毓信著.国际视野下的小学数学教育[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 张奠宙主编.张晓霞，马岷兴著.小学生数学基本计算技能的测试及计算教学的研究 [M].南宁：广西教育出版社，2008.4.

（北京师范大学励耘实验学校 100041）