何儒彬
1.问题的提出
2014年四川省高考理科第20题是这样一道题:已知椭圆C:■+■=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
(ⅰ)证明:OT平分线段PQ(其中O是坐标原点);
(ⅱ)当■最小时,求点T的坐标.
笔者在对该题中的第(2)小题进行探讨时,发现该结论可以推广到更一般的情形.
2.问题的推广与证明
由于第(2)小题结论(ⅰ)对于椭圆来说是一个一般性结论,笔者认为,该结论对于双曲线也应该成立,当附加一定的条件时,结论(ⅱ)对于椭圆(或双曲线)应该有一般表达式.
笔者通过深入探究,发现如下一般性结论:
推广一:如图1椭圆C:■+■=1(a>b>0)的焦点为F,T为椭圆准线上任一点(焦点和准线在y轴同侧),过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点,则有:
(1)OT平分线段PQ(其中O是坐标原点);
(2)当c>b时,■有最小值■,这时T点坐标为(-■,-■或(-■,■);
(3)当T是非x轴上的点时,K■K■=-■;
(4)若P关于坐标原点O的对称点为P′,则P′Q||OT.
证明:不妨设F(-c,0)为椭圆的左焦点.椭圆左准线:x=-■.
设T(-■,m),则K■=-■,当m=0时,T为椭圆左准线与x轴的交点,这时PQ为椭圆的通径,OT平分PQ.当m≠0时,因为TF⊥PQ,由K■K■=-1得K■=■(1)
所以直线PQ的方程为y=■(x+c),设P(x■,y■),Q(x■,y■),
联立■+■=1y=■(x+c)得(a■b■+c■m■)x■+2a■b■cx+a■c■(b■-m■)=0
因为△=4a■b■c■-4a■c■(a■b■+c■m■)(b■-m■)=4a■c■m■(b■+c■m■)>0
所以x■+x■=-■(2)
x■x■=■(3)
由y■+y■=■(x■+x■+2c)=■(2c-■)=■
得PQ的中点G(-■,■)
计算K■=-■,K■=-■得K■=K■.
由此知O,G,T三点共线,即直线OT过线段PQ的中点G,所以OT平分线段PQ.
计算|TF|=■=■(4)
|PQ|=■■
(5)
把(1),(2),(3)式代入(5)式,整理得|PQ|=■(6)
由(4)式,(6)式计算得比值
■=■=■■=■=■
=■■
=■■
≥■■=■.
当c>b时,解出m=±■■,此时■有最小值■,T为(-■,■■)或(-■,-■■).
根据结论第(1),(2)题证明已计算出K■=■,K■=-■易得K■K■=-■.
点P(x■,y■)关于坐标原点O的对称点为P′(-x■,-y■),P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■,即直线P′Q与直线OT的斜率相等,所以P′Q||OT.
推广二:如图2,双曲线C:■-■=1的焦点为F,T为双曲线准线上任一点(焦点和准线在y轴同侧),且点T的纵坐标m≠±■,过F作TF的垂线交双曲线于P,Q两点,则有:
(1)直线OT平分线段PQ(其中O是坐标原点);
(2)■=■
=■■;
(3)当T是非x轴上的点时,K■K■=■;
(4)若P关于坐标原点O的对称点为P′,则P′Q||OT.
以上结论的证明与椭圆情形类似,这里不再赘述.
继续探索.我们把椭圆更换为抛物线,这时结论将如何呢?请看下面的例子:
如图,抛物线y■=4x的焦点为F,动点T(-1,m),过F作TF的垂线交抛物线于P,Q两点,弦PQ的中点为N.
(1)证明:线段NT平行于x轴(或在x轴上);
(2)若m>0且|NF|=|TF|,求m的值及点N的坐标.
解(1)由抛物线的标准方程y■=2px及焦点F(■,0),准线方程x=-■知,此抛物线的焦点F(1,0),准线方程x=-1,动点T(-1,m)在准线上,由斜率公式得K■=-■.
当m=0时,T为抛物线准线与x轴的交点,这时PQ为抛物线的通径,点N与焦点F重合,易知线段NT在x轴上.
当m≠0时,因为TF⊥PQ,所以K■K■=-1,解得K■=■,于是直线PQ的方程为y=■(x-1)代入y■=4x化简整理得x■-(2﹢m■)x﹢1=0,△=(2+m■)■-4=m■(4-m■)>0.设P(x■,y■),Q(x■,y■),由韦达定理可知x■+x■=2+m■,y■+y■=■(x■+x■-2)=2m,得弦PQ的中点N(■,2),结合T(-1,m),由斜率公式计算得K■=0,所以NT平行于x轴.
综上可知,线段NT平行x轴(或在x轴上).
(2)已知∣NF∣=∣TF∣,在△TFN中,tan∠NTF=■=1知∠NTF=45°,得△TFA是等腰直角三角形(A是准线与轴的交点),所以∣TA∣=∣AF∣=2,動点T(-1,m),得m=2.
因为∠NTF=45°,所以K■=tan45°=1,又F(1,0),可得直线PQ的方程为y=x-1,由m=2得T(-1,2),由(1)知线段NT平行于x轴,设N(x■,y■),则y■=2代入y=x-1得x■=3,所以N(3,2).
推广3:抛物线y■=2px(p>0)的焦点为F,T为抛物线准线上任一点,过F作TF的垂线交抛物线于P,Q两点,弦PQ的中点为N,则线段NT平行于x轴(或在x轴上).