渗透数学思想，建构数学模型

许渊平

摘 要： 文章深入浅出地剖析了学生参与数学活动的学习策略，以及教师如何在活动中贯穿、渗透数学思想，引导学生建构和巩固数学模型，提高解决数学问题的能力。

关键词： 数学思想 认知过程 数学模型

教师引导学生通过数学活动，经历学习策略的形成过程，体验解决问题策略的多样化，体验策略的价值，受到数学方法的熏陶，训练学生的数学思维，培养有序地、严密地思考问题的意识，让学生有条理、清晰地阐述解决问题的思路，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，将实际问题抽象成数学模型，理解和掌握数学的思想方法，提高解决数学问题的能力。

一、参与现实情境，经历认知过程

教师要立足教材，根据学生的学情，调动学生已有的经验，创设现实活动情境，引导学生思考数学现象，帮助学生树立问题意识，引发学生的认知冲突，激发学生的探究欲望。让学生借助形象思维，经历数学知识的抽象过程，感悟数学新知的思想，进而主动完成知识体系的自我建构，体验数学知识不断优化的过程，真正实现让学生经历数学模型的产生、形成、发展和应用，促使学生树立数学观念。

例如教学“平行四边形的面积计算公式”时，多媒体屏幕呈现平和县三坪小学校园里一块刚平整好的平行四边形的花圃，提出：“学校准备在花圃里种植花草，请大家计算出这块地的面积，才能合理计划购买苗木的棵数。”这块地的形状是平行四边形，生1：“怎样计算呢？是否能运用学过的长方形面积计算方法？”生2：“长方形与平行四边形是各不相同的两种图形，面积求法也不相同的。”根据学生的质疑，我在大屏幕上出示一张带彩色方格的纸，纸上画着一个长方形和一个平行四边形，提出：“大家数数长方形和平行四边形各占几个方格？”学生汇报时，认为长方形与平行四边形占的方格都是15个，说明它们的面积相等。生3：“能否把平行四边形转变成长方形呢？能否用长方形的面积推导出平行四边形的面积？”我要求学生带着这个问题进行实践检验。学生通过合作剪一剪、拼一拼、数一数等办法，把平行四边形转变成长方形，继而求出平行四边形面积=底×高。最后，学生计算出学校那块平行四边形花圃的面积，提供需要购买多少棵苗木的准确数据。通过现实情境，学生沟通新旧知识的联系，经历数学知识的形成过程，在猜测、归纳、推理中接受数学思想方法的熏陶，丰富数学体验，发展数学思维，建构数学知识模型。

二、以实践操作为载体，有效渗透数学思想

由于渗透数学思想方法是个循环往复、螺旋上升的过程，教师要以较容易理解的简单形式呈现教学内容，设计、组织各种感性的数学活动，引导学生通过观察、猜测、试验等数学实践活动，丰富学生的体验，建立清晰的概念表象，培养学生善于独立思考的习惯，使学生树立有顺序、全面地思考问题的意识，掌握解决数学问题的具体方法，体验解决数学问题多样性的策略，从中受到数学思想方法的熏陶。

例如教学“数学广角——搭配中的学问”时，因为学生动手搭配探究衣服的可能情况，让他们记录下不同的搭配方法。成果展示会上，代表在台上展示摆法，其他学生观察台上代表的操作过程，分析是否有遗漏或重复。让学生思考与探究为什么会出现遗漏或重复的情况，怎样才能做到搭配不重复不遗漏？怎样记录所有的摆法？在操作与探究中，学生体验到搭配应讲究顺序。在整个探究活动中，我进行适时点拨，帮助学生建立表象，让学生探究出两种搭配思路：①固定上装搭配下方；②固定下装搭配上装。体验了有序的操作能将所有的情况一一列举出来，保证计数时不重复、不遗漏，建立有序搭配模型的表象，树立有序思考的意识，获得有序思考的具体方法。建构这些数学模型后，我利用生活中的事例，设计一些搭配生活问题，要求学生操作探究，及时利用课堂生成资源渗透符号化的思想，促进学生对搭配规律进行深层认识。又如教学“找次品”例2时，因学生已掌握例1解决问题的策略，经过找次品，初步感受到解决问题策略的多样性，所以我让学生试验、研讨，寻找最优的解决问题方法，学生把零件分成（4，4，1），（3，3，3），（2，2，2，3），（4，4，1）。在浅显、感性的操作中，学生感悟在分析和研究问题时只有做到全面考虑，才能使问题解决的结论更全面、具体。这种富有感性的呈现方式，让学生通过观察、猜测、试验等方式，感受到解决问题的多样性策略，经历由具体到抽象的思维过程，培养优化策略解决问题的有效性，以及解决问题的能力。

三、深化体验表象，巩固数学模型

学生建立数学模型就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构过程，在这一过程中，教师要关注建模思想的渗透，引导学生参与数学实践活动，把抽象的数学知识形象化、具体化，让学生经历猜想、观察、实验、比较、抽象及概括归纳等数学活动，获得数学知识的表象，深化对数学模型的理解，进一步巩固数学模型，感悟数学思想方法。

例如教学“数学广角——植树问题”时，让学生从多媒体创设的情境中提炼问题：要在全长20米的小路上的一边栽树，每隔5米栽1棵树（两端都要栽）。一共要栽多少棵树苗？学生猜想、验证，说出各自的验证方法，再选择喜欢的方式：或画线段，或摆学具栽一栽、数一数共有几个间隔？栽了几棵树？然后反思：猜测是否正确？为什么？在相互反馈过程中，学生经过探究、概括归纳，认为两边都栽树时，植树棵数=间隔数+1。通过探究与实践操作，学生从中发现无论小路的长度是多少，在小路一边栽树时，只要两端都栽，间隔数=总长÷间隔长、植树棵数=间隔数+1这两个式子都成立。接着，我出示生活中的一系列问题，要求学生利用所学知识解决这些题目。学生在拓展实例活动中建立成熟模型，运用数学模型解决实际问题，从而内化知识，升华思想。又如教学“体积概念”时，在观看《乌鸦喝水》画面后，学生感悟到由于乌鸦往瓶子里放石子，石子占了瓶子一定的空间，使水面上升，乌鸦就喝到水了。接着我用多媒体演示了一个实验过程：两个同样大的玻璃杯，先往一个杯子里倒满水；取一粒鹅卵石放入另一个杯子，再把第一个杯子里的水倒进第二个杯子里，这时第二个杯子装不下第一个杯子全部的水。学生观看了实验，经过探讨与实践，感悟不同大小的鹅卵石占据的空间各不相同，大鹅卵石占据空间大，水面升得高；小鹅卵石占据空间较小，水面升得少。学生通过实践、思考、讨论探究，理解数学概念，获得解决数学问题的方法，发展形象思维和逻辑思维，提高数学能力。