民族预科数学“两个重要极限公式”的教学探索

谢振中

摘 要： 根据民族预科数学的教学内容及预科学生的基本特点和数学基础等实际情况，就两个重要极限教学方法进行了有益的探索，把教学重点转移到对公式的剖析和运用上，并通过典型例题加以训练，取得了较好的课堂教学效果.

关键词： 两个重要极限 教学方法 教学探索

1.问题的提出

极限理论是微积分学的重要内容之一，贯穿于微积分学的始终，而两个重要极限公式在极限理论中是十分重要的，它是求其他函数极限问题的有效工具.传统的教法是教师在课堂上提出两个重要极限公式并给予证明，之后再通过一些例题对两公式进行简单说明，最后通过习题加以巩固.这种教学方法，学生在初学时往往抓不住公式的本质，特别是预科学生基础较差，对极限公式的理论性、形式性和应用性把握不准，理解不透彻，因此学生在运用公式时机械地生搬硬套，而对于一些较复杂的极限就束手无策，教学效果欠佳.为了改变这种局面，根据民族预科数学的教学内容及预科学生的基本特点和数学基础等实际情况，我们就两个重要极限教学方法进行了有益的探索，把教学重点转移到对公式的剖析和运用上，并通过典型例题加以训练，取得了良好的课堂教学效果.

2.具体实施过程

我们将本校预科2014级1、2、3、4班学生分两组，每组一个实验班和一个传统班，分别采用新教法和传统教法，进行重要极限公式教学方法的比较实验，并进行统计分析.

1.1两个重要极限公式

=1，（1+）=e，其证明过程略.

1.2两个重要极限公式的剖析

（1）=1（=1）

让学生先观察思考：

，，

在思考过程中提示学生换元，分别令t=2x，π-x，都化为=1

剖析：①函数（x→0）是型未定式；

②函数是一个分式，分子sin后的变量与分母是完全一样的；

③函数中，变量的x单位是弧度；

④式子中x的变化范围不局限于x→0，只要f（x）→0时是型未定式即可.

然后得出一般情况：=1，使学生对公式=1有较深的理解.

例如=1，=1.

（2）（1+）=e或（1+y）=e

它们是等价的，只要令y=，当x→∞时，y→0.

让学生思考：（1+），（4+x）

提示学生可通过换元：

分别令t=，x+3将它们转化为（1+）=e及（1+t）=e处理.

剖析：①函数（1+）是幂指函数，当x→∞时，（1+）是1型未定式；

②函数（1+）的指数是无穷大量；

③函数（1+）是两项的和，其中一项是1，另一项是无穷小量且是括号外指数的倒数；

④式子（1+）中的x的变化范围不局限于x→∞，只要f（x）是无穷大量.或在式子（1+f（x））中x的变化范围不局限于x→0，只要f（x）是无穷小量即可.

然后得出一般情况：（1+f（x））=e，其中f（x）当x→a时为无穷小量.

例如（1+）=e，（1-）=（（1+））=e.

当x→0时（1+5x）→e.

1.3两个重要极限公式运用举例

例1：

解：==-=-=-1

例2：

解：===··x=1·1·x=0

例3：x·sin

解：x·sin=·2=1·2=2

例4：（）

解：（）=（1+）=[（1+）]=[（1+）]

=e=e

例5：（1+sin2x）

解：（1+sin2x）=[（1+sin2x）]=e=e

1.4思考题目

下列极限可否用两个重要极限公式极限计算，并说明理由.

（1）（x-2），（2），（3）（m，n为整数）

3.实验结果及分析

为了检验新方法的教学效果，我们对两种方法的两组四个班级的小考成绩加以比较，对测试成绩进行统计分析，结果见表1.

表1 不同教学方法的比较

从表1可以看出，通过实施两种教法，其教学效果存在显著差异.

产生这种显著差异的原因是传统班学生对重要极限公式理解得不透彻，没有把握公式的特点和本质，只会对一些简单的极限机械地运用公式，对于较复杂的极限就显得无能为力，从而教与学的效果都不佳，而实验班学生能够理解公式的本质内在特征，能够从本质特点出发，不管是简单的还是复杂的极限运用公式时都运用自如，教学效果很好.

参考文献：

[1]吕忠田.重要极限公式教学札记[J].高等数学研究，2009（5）：56-58.

[2]同济大学数学教研室.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]四川大学数学教研室.高等数学（第一册）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]黄永彪，杨社平.微积分基础[M].北京：北京理工大学出版社，2012.

基金项目：湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通（2015）291号）