神秘而奇妙的幻方（上）

林革

1957年，在西安市东郊元代安西王府遗址出土的元朝文物——铁板幻方

在国内电视娱乐节目《最强大脑》某一期里，就挑战成功与否，选手与专家展开了激烈争执，甚至引发了场下的微博大战。他们所争执的内容即是神秘而奇妙的幻方。

什么是幻方？幻方有哪些独特的魅力？就让我们通过下面的文章了解一下。

幻方是一种起源于我国的传统数字益智游戏。即把从1到n2个连续的自然数不重不漏地填入n×n的方格里，使每行、每列和两条对角线上的n个数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方，这个相等的和叫幻和。我国南宋著名数学家杨辉称之为“纵横图”，在其于1275年所著的《继古摘奇算法》中，不仅给出了构造3阶幻方的最简口诀，而且还记载了4～10阶幻方的构造方法。

图1

图2

其后，这种古老且神秘的“纵横图”于15世纪初经东南亚国家、印度、阿拉伯流传到西方，在欧洲各国风行一时。就连欧拉和富兰克林等许多著名数学家和科学家，也对幻方产生浓厚的兴趣，并进行了有趣的探索。

由于“纵横图”具有变幻莫测、高深奇妙的特性，以至于西方把它称之为Magic Square，翻译成中文就是“幻方”。

千百年来，随着人们对于幻方研究的深入，幻方已经成为数学园地中的一朵奇葩。众多爱好者痴迷其中，追求更高阶、更特别的幻方，研究成果层出不穷。而且幻方的形式已经突破了原先n×n的方格模式，幻方中的元素也不再限定为从1开始的连续自然数，抑或并非每行、每列及对角线上数字之和相等，而是之差、之积、之商相等，各种稀奇古怪、趣味盎然的非正规幻方不断走入人们视线，其独特的构成和性质也引起人们强烈的好奇和关注。

幻方的起源

关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图。这就是“河图” （如图1）， 据说，伏羲氏凭借着“河图”而演绎出八卦。许多研究者认为，这是最早的幻方衍生雏形。后来，大禹治水时，洛水中浮出一只神龟，它背上的图文被称之为“洛书”（如图2）。

图3

公元6世纪前后，我国南北朝时期的北周数学家甄鸾，曾对“洛书”进行了数学分析，使人们认识到蕴含其中的特性：在这个实际从1到9排成3行3列的“九宫”数表中，每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和都相等（等于15），也就是如今的3阶幻方（如图3）。由此，“洛书”成为世人公认的最原始、最低阶的幻方，亦被称为“九宫图”。

幻方的构作

对于3阶幻方的构作，南宋数学家杨辉给出了4句要诀：“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。”按序操作，任何人都可以轻而易举地完成。图解如下：

即先将1～9这些数字按序连续排成菱形位置;然后，将上下两头的数字1和9对调，再将左右两端的数字7和3对调;接着，将紧缩在里面的4个偶数2、4、6、8沿正方形对角形方向挺出到四角，则3阶幻方大功告成。

现代数学推导构作3阶幻方的步骤是：

先求幻和：幻和=n×（n2+1）÷2，则3阶幻方的幻和=3×（32+1）÷2=15;

确定中心数：根据每行、每列和两条对角线上的幻和相等，以及中心数是第二行、第二列和两条对角线幻和的公共数，可求出中心数为5，这是关键步骤;

定四角数：通过假设法和奇偶性判定四角上的数必为偶数，即2、4、6、8;

定其他数：接着稍加试验就很快得出完整的3阶幻方。

对于更高阶的奇数阶幻方和偶数阶幻方的构作，研究者给出许多奇妙的方法，在此就4阶幻方和5阶幻方分别介绍一种简易构作方法。

4阶幻方的构作方法——对称交换法：先将1～16依次按序填入4×4方格中，两条主对角线上的8个数不变，其余各数按中心对称交换（即把2和15，3和14，5和12，9和8交换），这样，就得到了一个4阶幻方。

图4

5阶幻方的构作方法——平移补空法：先画一个如图5的阶梯式图表，把1～25按倾斜行从右上到左下依次填入图中;再以中间5×5方格为基础，画出一个5阶方阵来，按照对称原理，把方阵外的数按上移下、下移上、左移右、右移左的方法，平移到对应部分的空格中，即得一个5阶幻方（如图6）。

左：图5右：图6

可以想象，不管是奇数阶幻方，还是偶数阶幻方，不管是正规幻方，还是非正规幻方，要想顺利构造出来，都不是件轻而易举的事。若没有痴迷陶醉的兴趣、锲而不舍的信念和执著不懈的努力，几乎可以肯定是徒劳无功的结局。

下面要向大家介绍的各种奇异珍品幻方，其精彩绝伦的背后更是蕴含着创作者的呕心沥血和百般巧思，令人在叹为观止之余，不禁肃然起敬。

铁板幻方

国外研究幻方的构造大约从14世纪才开始，比我国要晚1000多年。目前所知外国人所造的最早幻方是于 1957 年在西安东郊元代安西王府遗址出土的元朝文物——铁板幻方（如题图）。它们现存于陕西省历史博物馆。据推测，这两块铁板是13世纪时由阿拉伯天文学家札马鲁丁在中国监制而成。就出土地点和时代背景而言，这个铁板幻方显然受到中国幻方研究的影响。

经考证鉴定，这块长14厘米，厚1.5厘米的铁板上，铸有阿拉伯数字1～36，恰好构成一个6阶幻方。稍加验证可以发现，这个6阶幻方的幻和为111。除此之外，人们还发现了铁板幻方具备一般6阶幻方不具有的奇妙特性：

第一，铁板幻方中第1行和第6行、第1列和第6列中六个数的平方和相等。

第二，去掉铁板幻方最外一层数字，中间剩下的部分仍然是一个4阶幻方（图7）。这个4阶幻方由 11～26 这16个数组成，其每行、每列及两条对角线上的 4 个数字之和都是 74 。

图7

第三，上面提到的4阶幻方还是一个完美幻方。即各条泛对角线（与两条主对角线平行同样经过4个数的线）上的4个数字之和也都是 74。比如：15+19+22+18=23+21+16+14=11+23+26+14=74。

铁板幻方是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，它表明，当时人们对6阶幻方的数字秘密已经有了一些基本了解。

画家幻方

如果说，艺术家有不按常理出牌的特点，那么，中世纪德国著名画家阿尔勃列希特·丢勒在其功成名就之时，突然宣布开始转向数学研究，这种跨度似乎就难用心血来潮或别出心裁来解释了。即便如此，这位酷爱幻方的画家为其1514 年创作的名画《忧郁》添加的一个特别的背景——4阶幻方（如图8），足以显示自己业余爱好的非凡水准。

图8

用数学眼光来判断，丢勒苦心经营的4阶幻方看似非常普通。唯一比较鲜明的是，幻方最后一行中间两个数是15和14，恰好隐含了这幅作品的创作年代，似乎也仅此而已。由于已经构成的4阶幻方多达880种，为数众多，各有千秋、精彩纷呈，所以人们当初并没有对画中的幻方高看一眼。但到了21世纪，当幻方专家重新浏览这则幻方时，竟然发现数百年来“有眼不识泰山”，其中蕴含却被忽视的种种特性足以让人刮目相看。

在这个幻方中，角上4个数字之和16+13+4+1=34，等于4阶幻方的和常数，这可不是幻方的常规要求，看似无心却是有意。

在这个幻方中，角上的4个2×2小正方形和中央的一个2×2小正方形的4个数字之和仍等于幻方常数。即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+8=7+12+14+1=10+11+6+7=34，其中的机巧令人眼前一亮。

在这个幻方中，对角线上8个数字之和等于不在对角线上的8个数字之和。即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+9+14+15+12+8=68，这显然出乎人们的意料和想象。

这还没完，人们继续尝试后又有新发现：对角线上8个数字的平方和等于不在对角线上的8个数字的平方和。即162+102+72+12+132+112+62+42=22+32+52+92+142+152+122+82=748，这就更为奇巧难得了。

随后，研究者继续下面的尝试并发现：对角线上8个数字的立方和等于不在对角线上的8个数字的立方和，大家不妨验证一下，它们的和常数都为9248。如此“不变其宗”的机变实在让人拍案叫绝。

一个画家的数学造诣和精巧构思竟然如此高深，配合珠联璧合的挖掘真是叫人叹服。

“富兰克林幻方”

富兰克林是18世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家，其捕捉雷电的故事广为人知。令人惊讶的是，他还是位颇有才华的数学爱好者，曾对幻方进行过深入研究，并制作过一则由1～64组成的8阶幻方，其中还包含4个子幻方（如图9），至今让幻方迷津津乐道。

稍加辨析，“富兰克林幻方” 除了每行每列的8个数字之和都等于260以外，其内蕴的其他种种奇妙性质，让人在细细回味之余惊讶不已。

图9

首先，4个子幻方的每行、每列上各数和为130。

其次，幻方角上的4个数与最中心4个数之和等于幻和值260。

第三，从16到10，再从23到17所成折线“∧”上8个数字之和也为 260; 且平行这种折线的其他 “∧”（包括中断进行增补）上的8个数字之和也为260。

第四，由任意4个小方格组成的2×2正方形中，4个数字之和都是130。

最后，任何4个与中心等距离且位于子幻方中对等（对称）位置的数之和为130。比如：3+30+63+34=5+28+57+40=130。

图10

“富兰克林幻方”虽然变化多端;但美中不足的是，它的对角线上8个数字之和不等于260，这也导致4个子幻方的对角线上的4个数字之和不等于130。这并不符合经典幻方的定义。即便如此，“富兰克林幻方”仍以其非凡的特性，获得幻方研究者的一致好评和推崇。

幻方大王

“富兰克林幻方”的小小缺憾，引发了无数幻方爱好者的兴趣，许多人都潜心研究试图达成圆满。俗话说“功夫不负有心人”，随着人们的不懈努力，这个问题最终被幻方大王弗里安逊圆满解决。弗氏构造的8阶幻方（如图10）完美解决了“富兰克林幻方”存在的小缺陷，并且具备更多奇妙的特性，让人回味无穷、叹为观止。

稍加验证可知，这是一个精确的8阶幻方。每行、每列和两条对角线上的8个数字之和都等于幻和260。

4个子幻方的每行、每列和两条对角线上的4个数字之和都等于130。

幻方的中间4排可以构成左右两个4阶幻方（如图阴影部分），幻和都是130。

图中含有25个2×2小正方形（按上下左右的顺序有16个，再加上标注中心 的9个，彼此没有重叠），每个方阵中的4个数字之和都等于130。

图中含有24个3×3小正方形（最上面3排可构成4个，依次往下共计类似6种情形），每个方阵中的角上4个数字之和都等于130。

图中取出任何一个4×4小正方形，其中各数字之和都等于520。

图中取出任何一个5×5小正方形，角上的4个数字都成等差数列。

图中任何一个长方形，只要以 为中心的，角上4个数字之和也都等于130。

除此之外，图中甚至还暗含8个数字之和都等于260的垂直锯齿形、水平锯齿形等特殊序列。

不愧是幻方大王，如此巧思竭虑、妙不可言的幻方，确实算得上是幻方中的大王。（未完待续）

【责任编辑】赵  菲