数学思想与认知世界

高兆东

数学历来被认为是自然科学之王，其根本点在于它的精确性和严密性及它所赋予我们的自然美。因此也被称为是思维的体操，是人类智慧的源泉。要想学好数学，掌握数学，就一定要有严密的思维习惯和良好的思维方式。下面我结合初中一元二次方程的内容谈谈基本的教学思想。

一、一切事物的源泉——存在性

1.已知关于x的方程x2+2（k+1）x+k2=0的两根之和不小于-4，求k的取值范围？

解：设关于x的方程x2+2（k+1）x+k2=0两根为x1，x2

由根与系数关系可知x1+x2=-2（k+1）x1x2=k2

由题意知：x1+x2=-2（k+1）≥-4

=> k≤1

∴k的取值范围是：k≤1

似乎解题过程无可挑剔，但却是错误的，它忽略了一个根本的要求——根的存在性！我们应该把“两根之和不小于-4”理解为“首先方程有两根，且两根之和不小于-4”，这样就可以知道还要满足

二、认识世界的钥匙——探索性

人类认识事物的过程漫长而复杂，但如果没有刻意追求的探索精神，那将会一事无成。数学是自然学科中最具有想象力的，许多数学概念的延伸对社会的进步，科技的发展起到了不可估量的推动作用，数学中的探索性是什么呢？

例：已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m-1）2x2-（2m-5）x+1=0的两个实数根。

（2）问x1，x2能否同时为正数，若能同时为正数，求出相应的取值范围，若不能同时为正数，请说明理由。

解：（1）∵x1，x是方程（m-1）2x2-（2m-5）x+1=0的两个实根

似乎P的取值为一切实数！其实不然，我们首先要考虑m≠0，且Δ≥0

即（2m-5）2-4（m-1）2≥0且m≠1

从而由P=2m-5，知P的取值范围是P≤-22且P≠-3

（2）在m≤74且m≠1的前提下，假设存在x1，x2同为正数（假设结论正确，探索结论与条件的关系，力求取得规律）

∴2m-5>0 即m>52

但这与前提不符，因此不存在x1，x2同为正数。从问题的提出到结论的解决，需要我们从概念出发牢牢把握问题方向，研究前后因果，探索其内在联系，不断去伪存真，直至得出正确结论，是摸索探索性问题的典型例子。

三、严谨的科学态度——完备性

不管在哪个领域，科学的态度就是追求完美，人们也就在追求完美中不断进步和提高，科学也在不断追求完美中进步，数学就更是如此，下面让我们看一个严谨的例子。

1.已知三角形的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5。

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

（2）k为何值时，△ABC为等腰三角形？求出这时△ABC的周长？

解：（1）∵AB，AC是x2 -（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根

∴AB+AC=2k+3AB·AC=k2+3k+2

又若△ABC是以BC为斜边的直角三角形

那么 BC2=AB2+AC2

即25=（AB+AC）2-2AB·AC

∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25

即k2+3k-10=0

解得：k1=-5，k2=2

k1和k2究竟谁适合要求呢？

首先：方程要有根Δ=（2k+3）2-4（k2+3k+2）≥0

得出1≥0恒成立

其次AB，AC为三角形的边长，必须要为正数！

故AB+AC=2k+3>0AB·AC=k2+3k+2>0

∴只有k=2适合

∴k值应该为2。

（2）△ABC为等腰三角形，应该有几种情况呢？

Ⅰ.若BC=5为底边，则方程有等根

但Δ=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1≠0

这是不可能的。

Ⅱ.若BC为腰，则AB，AC中必须有一者为腰，不妨设AB=5

AB+AC=2k+3AB·AC=k2+3k+2知5+AC=2k+35AC=k2+3k+2

解之得AC=6k=4或AC=4k=3

由于k=3和4，均满足方程有两个正根的要求，故都符合题意。

当AC=4时，三边长为5、5、4，△ABC周长为5+5+4=14

当AC=8时，三边长为5、5、6，△ABC周长为5+5+6=16

本题从方程的种类、有根情况，有怎样的实根及直角三角形要求、等腰三角形要求，层层相环，丝丝入扣，有机地结合在一起，而且从等腰三角形腰与底边的分类，充分体现了考虑问题的周密性和完善性，是数学思想完备性的良好写照。

当然，教学的思想还远不止以上几种，但在初中数学中，我们就能充分体会到如此精彩的思想确实是一种享受，真心地希望学生在学习的同时，能愉快地接受数学思想所给予我们的快乐，从而提高我们学习的兴趣和认识事物的动力，从必然王国走向自由王国。

编辑 谢尾合