一类凹凸型函数的半线性椭圆型方程的非平凡解的个数问题

张灵琦，赵宇华

(哈尔滨师范大学)

0 引言

自然界中许多用来描述反应扩散类的数学模型的稳态解方程都被建立成如下形式:

其中，未知函数u代表某种生物种群的人口数或化学反应剂的浓度，Ω⊂Rn，n≥1为有界区域.关于方程(1)的研究近几十年来已经取得了大量的结果.特别是当Ω为单位球形区域时，Gidas G，NiWM 和 Nirenberge L［1］的经典结果至今仍被许多学者引用.而在非均匀(heterogenous)和0－Dirichlet边值条件下的平衡解问题，史峻平和Shivaji R［2］给与了更详细的研究.此外，生态学中的模式生成问题(pattern formation)也呈现某种“振荡”效应，其中的非线性函数经常以f(x，u(x))=λu(x)+g(x，u(x))或f(x，u(x))=λu(x)g(x，u(x))的形式出现.2006年，史峻平和Shivaji R研究了f呈所谓的弱Allee效应条件下的解集结构问题并给出了其精确的分歧图像.对于更一般的f，在此之前较为著名的结果还有Clement Ph和Sweers G［3］以及Dancer E N［4］.2009年，刘冠琦，王玉文和史峻平［5］又对后者的条件加以改变，得到了非齐次方程的一系列更确切的不存在性结果，从而推广了Clement Ph和Sweers G的结论.

该文主要讨论方程(1)的一种特殊情形:

的精确解个数.现在做出如下基本假设:用符号θ表示常值函数0.

其中，{λk}是如下0－Dirichlet边值问题的本征值列:

由椭圆型方程边值问题的关于本征值的比较原理可知，方程

的本征值有如下单调性质:

(P2)当a1≤a2时，λk［a1］≥λk［a2］，k≥1.其中，a，a1，a2∈L∞(Ω).

性质(P1)及(P2)的证明详见文献［6］或文献［7］.另外，由条件(H2)知，

即，函数g按照变元u从小到大顺序呈现“凹凸”变化趋势.

1 主要结果

设X=L2(Ω)，K=(－Δ)－1是X上的Green算子，f是函数f(x，u)的Nemitski算子，S=IK◦f.于是方程(2)可等价地化为如下泛函方程:

易见，T=K◦f是非线性的紧算子.关于方程(6)的解的存在性，有如下经典结果:

引理1 (Ambrosetti A［7］)如果1不是算子T'(θ)的特征值，那么θ是方程S(u)=θ，u∈X的孤立解，并且i(S，θ)=(－1)β.其中，β是T'(θ)的仅在区间(0，1)内的所有特征值的代数重数之和.

利用Leray－Schauder度关于孤立解指标的计算，本文的主要结果为如下定理.

定理1 假设条件(H1)～(H3)成立，并且参数λ满足

则方程(2)存在两个非平凡解.

利用以下几个引理来分步骤证明定理1.

首先，由条件(H1)，不妨做变换:λu+g(u)=uh(u)，则函数h有如下性质.

引理2 ①h关于u有界;

②对∀u≠θ，h(u)＜λ+g'(u);

③对∀u∈X，λk＜h(x)＜λk+1.

证明 ①对等式λu+g(u)=uh(u)两边关于u求导，得

即

两边同时除以u，得

由条件(H3)，当u→∞时有

若h'(u)→C＞0，u→+∞，则h单调递增趋于+∞.此时，(10)式意味着

故产生矛盾.同理，若h'(u)→C＜0，u→+∞，则h单调递减趋于－∞.此时，(10)式意味着

仍然产生矛盾.因此只能有

类似的讨论，可以在u→－∞情形下进行，从而h(u)必有界.

②由(5)式，得

当u＜θ时，g'(u)单调递减;当u＞θ时，g'(u)单调递增.故结论②等价于判定如下关系式成立，

继续对(7)式关于u求导，得

注意到条件(H2)，进一步得到

这说明，关于u的函数u2h'(u)严格单调递增且u2h'(u)|u=θ=θ，从而有

当u＜θ时，u2h'(u)＜θ;当u＞θ时，

换句话说，

即有(14)式成立，于是结论②得证.

最后，结论③是结论①、②的直接结果.

引理3 设u0∈X满足方程(6)，则当u0为非平凡解时，i(S，u0)=(－1)k;否则，i(S，θ)=(－1)k－1.

证明 首先讨论u0≠θ情形.现对方程(6)两边关于u0求Fréchet导数，则有

即，

由本征值性质(P2)及条件(H4)，得

再应用引理2，得到如下关系

注意到本征值性质(P2)，于是又有

结合(21)及(23)两式，得

应用引理1，得

注意到条件(H4)，平凡解u0=θ情形可类似地重复上述过程推得，即

记X中的以零元θ为中心，r为半径的球形集合为

则关于方程(6)又有以下结果.

引理4 ∃r＞0，使得deg(S，Br(θ)，θ)=(－1)k.

证明 首先证明，必存在某个球Br0(θ)使得

若假设(27)式不成立，即方程(6)的解集为无界集，则必存在X中点列{un}满足S(un)=θ，

即

于是当vn=‖un‖－1un时，{vn}为有界点列且‖vn‖ =1，∀n.此外还有，

即

注意到引理2蕴涵点列{h(un)}的有界性，因此，算子(－Δ)－1的紧性又蕴涵{vn}存在弱收敛子列(不妨仍记作{vn})，即

由椭圆型方程的正则性理论，(32)式的弱收敛蕴涵在X中的强收敛，即

另一方面，对∀λ∈(λk，λk+1)定义如下辅助函数h0:

则当n→∞ 时，有

这说明，

另外，对(30)式两边同时乘以检验函数，再取Ω上的积分，得

对上式两边同时取n→∞极限且注意到(36)式，得

于是，函数v0是下述问题的解:

由本征值问题(4)的性质(P1)及(P2)知，必存在正整数k0≥1使得

而按照条件(H4)，又得到关系

这与(40)式产生矛盾，从而(27)式成立.

现在引入同伦映射H:［0，1］×X→X:

则(27)式蕴涵同伦映射H在球Br0(θ)上是容许的，从而应用Leray－Schauder度的同伦不变性，得

另外(41)式还蕴涵，算子I－Kh0在开区间(0，1)内的特征值至多为k个.那么当再次应用引理1时，得

现在可以完成对定理1的证明了.

定理1的证明 由引理3知，方程(6)的解均为非奇异的，从而应用Sard定理知S－1(θ)为有限集.于是，若N为解集S－1(θ)中的非平凡元的个数，则

那么再应用引理4，得

(46)式蕴涵，N=2.

［1］Gidas B，Ni W M，Nirenberge L.Symmetry and related properties via the maximum principle［J］.Comm Math Phys，1979，68:209–243.

［2］Shi J，Shivaji R.Semilinear elliptic equations with generalized cubic nonlinearities［J］.Discrete Contin Dyn Syst Proceedings of the Fifth AIMS International Conference on Dynamical Systems and Differential Equations，Pomona，CA USA，2005:798–805.

［3］Clément Ph，Sweers G.Existence and multiplicity results for a semilinear elliptic eigenvalue problem［J］.Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci，1987，14(4):97–121.

［4］Dancer E N，Yan S.Construction of various types of solutions for an elliptic problem［J］.Calculus Variations and Partial Differential Equations，2004，20(1):93–118.

［5］Liu G，Wang Y，Shi J.Existence and nonexistence of positive solutions of semilinear elliptic equation with inhomogeneous strong Allee effect［J］.Appl Math Mech Engl Ed，2009，30(11):1461－1468.

［6］钟承奎，范先令，陈文塬.非线性泛函分析引论［M］.兰州大学出版社，1998.67–153.

［7］Ambrosetti A，Malchiodi A，Nonlinear analysis and semilinear elliptic problems［M］.Cambridge University Press，2007.38－42.