赵凤鸣,张隆辉
(四川职业技术学院)
文献[1]在整数集Z上定义了模n同因关系,研究了整数的模n同因分类,得到整数的模n同因分类Z(n),证明了:Z(n)的元素个数是T(n)(其中T(n)是n的正因数个数);Z(n)关于乘法[a][b]=[ab]作成以[0]为零元,文献[1]为单位元的交换半群,且除文献[1]外其余的元都没有逆元.由于最大公因子是唯一分解环的重要概念,整数环Z是唯一分解环,故在一般的唯一分解环中研究同因关系,而把Z中的同因关系作为它的特例,从而文献[1]的相关结论就得到了统一和推广.
定义1[2]一个整环I叫做一个唯一分解环,假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.
唯一分解环I的任意两个元a,b在I里一定有最大公因子,并且a,b的任意两个最大公因子相伴,a,b的任一最大公因子的相伴元仍是a,b的最大公因子.将a,b的所有最大公因子的集合记为(a;b),因此(a;b)是由a,b唯一确定的I的一个子集.在I里元g生成的主理想记为(g),商环或剩余类环I/(g)的元记为,a∈I,=a+(g).
引理1 设I是一个唯一分解环,g是I中的一个给定元,∀a,b∈I,规定a~b当且仅当(a;g)=(b;g),则~是I的元间的一个等价关系.
证明~是I的元间的一个关系,因对任意给定的a,b∈I,(a;g)和(b;g)是否相等是唯一确定的.∀a,b,c∈I,由(a;g)=(a;g),有a~a;若a~b,则(a;g)=(b;g),故(b;g)=(a;g),从而b~a;若a~b,b~c,则(a;g)=(b;g),(b;g)=(c;g),故(a;g)=(c;g),从而a~c.故~是I的元间的一个等价关系.
定义2 设I是一个唯一分解环,g是I中的一个给定元,∀a,b∈I,由a~b⇔(a;g)=(b;g)确定的I的元间的等价关系~叫做I的模g同因关系,它所决定的I的分类叫做I关于模g的同因分类,记为I(g),其中每一个类都叫做模g的一个同因类,a所在的同因类记为[a].
由定义2有[a]={x∈I|(x;g)=(a;g)},I(g)={[a]|a∈I}.
引理2[3]设I是一个唯一分解环,∀a,b,c∈I,如果a|bc,且a与b互素,则a|c.
引理 3[1]设 α,β,α',β',γ 都是非负实数,且
min{α,γ}=min{α',γ},min{β,γ}=min{β',γ'},则
min{α+β,γ}=min{α'+β',γ'}.
定理1 唯一分解环I关于模g的同因分类I(g)具有如下性质:
(1)[a]= [b]⇔(a;g)=(b;g);
(2)若a,b相伴,则[a]= [b].
(3)[a]= [0]⇔g|a.
(4)[a]=[1]⇔a与g互素.
(5)若a,g互素,则[ab]= [b],从而[εb]= [b],其中 ε 是I的单位.
证明 (1)由定义2直接得出.
(2)由a,b相伴,则存在I的单位ε使a=εb,故d|a⇔d|b,d∈(a;g)⇔d∈(b;g),所以(a;g)=(b;g),由(1)得[a]= [b].
(3)由(1)[a]=[0]⇔(a;g)=(0;g)={εg|ε是I的单位}⇔g|a,故结论成立.
(4)由(1)[a]=[1]⇔(a;g)=(a;1)={ε|ε是I的单位},故结论成立.
(5)∀d∈(ab;g),则d|ab,d|g.又因a与g互素,则d与a互素,由引理2有d|b,故d是b,g的一个公因子.又设d'是b,g的任一公因子,则d'也是ab,g的一公因子,而d是ab,g的一最大公因子,故d'|d,从而d∈(b;g).
反之,∀d∈(b;g),类似可证得d∈(ab;g),故(ab;g)=(b;g),从而[ab]= [b].
定理2 设I是一个唯一分解环,记I*是I的元按相伴关系分成的等价分类,给定模g∈I.
(1)若g=0,则I(g)=|I*|,即I(0)与I*的阶相等.
(2)若g≠0,记g的互不相伴的因子的个数为T(g),则
①|I(g)=T(g)|,从而|I(ε)|=1,其中ε是I的单位.
②[d1],[d2],…,[dT(g)]就是I(g)的全部元,其中d1,d2,…,dT(g)是g的T(g)个互不相伴的因子.
证明 (1)在I中,元间的相伴关系显然是一个等价关系,将I中所有与a相伴的元的集合记为a*,则I*={a*|a∈I}.令 σ([a])=a*(∀[a]∈I(0)),则σ是I(0)到I*的双射,因为模g=0,故[a]=[b]⇔(a;0)=(b;0)⇔a与b相伴⇔a*=b*.
(2)因g≠0,且I是唯一分解环,故g的互不相伴的因子的个数T(g)是一个确定的正整数.如果存在di,dj(i≠j)使[di]= [dj](1 ≤i,j≤T(g)),则(di;g)=(dj;g),又di|g,dj|g,故di∈ (di;g),dj∈ (dj;g),从而di与dj相伴,矛盾.所以[d1],[d2],…,[dT(g)]是I(g)的T(g)个不同元.∀[a]∈I(g),取d∈(|a;g|),则d|g,故(a;g)=(d;g),所以[a]= [d]且d与d1,d2,…,dT(g)之一相伴,不妨设d与某个
dk(1≤k≤T(g))相伴,则(d;g)=(dk;g),故[d]= [dk],从而[a]= [dk],所以I(g)⊆{[d1],[d2],…,[dT(g)]},故I(g)={[d1],[d2],…,[dT(g)]}.从而 ①、② 成立.
定理3 设I是一个唯一分解环,给定g∈I,则|I(g)|≤|I/(g)|.
∀A∈I(g),存在a∈I使[a]=A,则σ)= [a]=A,故 σ是I/(g)到I(g)的一个满射,从而存在一个I(g)到I/(g)的单射,由文献[4]知|I(g)|≤|I/(g)|.
定理4 设I是一个唯一分解环,给定模g∈I,在同因分类I(g)中规定:
则(*)是I(g)的一个乘法运算,I(g)关于此乘法作成一个以文献[1]为单位元的交换半群,并且除了文献[1]以外其它元都没有逆元.
证明 (1)∀a'∈[a],b'∈[b],则(a';g)=(a;g),(b';g)=(b;g),[a'][b']= [a'b'],需证(a'b';g)=(ab;g),即得[a'b']=[ab],从而(*)是I(g)的乘法运算.
①若g=0,则a'与a相伴,b'与b相伴,从而a'b'与ab相伴,有(a'b';g)=(ab;g).
②若g是单位,则(a'b';g)=(ab;g)={ε|ε是I的单位}.
③若g既不是0也不是单位,
Ⅰ.若a,b中有一个是0,不妨设a=0,则(ab;g)=(a;g)={εg|ε是I的单位}.又(a';g)=(a;g),故g|a',g|a'b',从而(ab;g)={εg|ε是I的单位}=(a'b';g).
Ⅱ.若a',b'中有一个是0,类似于Ⅰ可得(ab;g)={εg|ε是I的单位}=(a'b';g).
Ⅲ.若a,b,a',b'均不为0,则可设b=εbpβ11pβ22…pβnn,b'=εb'pβ1'1pβ2'2…pβn'n
其中εg,εa,εa',εb,εb'都是单位,p1,p2,…,pn是互不相伴的元素,γi,αi,αi',βi,βi'都是非负整数,
γi不全为0,1≤i≤n,则εaεb,εa'εb'是单位,且
由最大公因子的求法得
由引理3得min{αi+βi,γi}=min{α'i+β'i,γi},即δ'i=δi(1≤i≤n),故(a'b';g)=(ab;g).
(2)由于I的元对乘法适合结合律、交换律,并且单位元是1,故∀[a],[b],[c]∈I(g)(a,b,c∈I),有
([a][b])[c]=[ab][c]=[(ab)c]=[a(bc)]=[a][bc]=[a]([b][c]),
[a][b]=[ab]=[ba]=[b][a],[1][a]=[1a]=[a]=[a][1]
(3)若[a]∈I(g)有逆元,即存在[b]∈I(g),使[a][b]=[1],即[ab]=[1],由定理1之(4)有ab与g互素,从而a与g互素,同样由定理1之(4)有[a]=[1].
在整数环Z中只有1和-1是单位,通常限定模n>0,a和n的最大公因子就取为数论意义的最大公因数,记为(a,n)(>0),n的T(n)个互不相伴的因子可就取作n的T(n)个互异正因数d1,d2,…,dT(n).因此,Z关于模n(>0)的同因类是[d1],[d2],…,[dT(n)],其中[di]={x∈Z|(x,n)=di}.这样,只要给定n>0,Z(n)={[di]|1≤i≤T(n)}关于同因类的乘法就是一个确定的、除了单位元[1]以外其它元都没有逆元的交换半群,Z(n)的乘法为:[di][dj]=[didj]=[dij],其中dij=(didj,n),[n]=[0].
该文利用模g同因关系构造出了一个含单位元且仅单位元有逆元的T(g)阶交换半群I(g).由于I是抽象的唯一分解环,所以含单位元且仅单位元有逆元的有限交换半群是很广泛的,比如,对任意给定的正整数n,Z(pn-1)就是这样的n阶交换半群(p是素数).
[1]魏国祥,徐志军.整数的模n同因分类[J].四川职业技术学院学报,2004,24(6):143–145..
[2]张禾瑞.近世代数基础(1978年修订本)[M].北京:人民教育出版社,1978.130.
[3]张隆辉,石化国,廖辉,等.整环是唯一分解环的充要条件[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2012,28(1):25-27.
[4]陆少华.近世代数[M].上海:上海交通大学出版社,1992.16.