《Z+Z超级画板》下初中数学有意义学习的探索

牛应林

[摘 要] 随着信息技术的发展，数学工具逐渐进入课堂. 本文着重阐述了张景中院士所带团队开发的《Z+Z超级画板》，讲述了其功能以及特点，如能让数学变得形象且容易理解；让数学变得有趣且具有吸引力.

[关键词] Z+Z超级画板；形象；有意义

当社会的许多领域都在享受信息技术的发展所带来的进步成果时，数学教育自然也对信息技术的进步寄予厚望：技术能否使抽象的数学变得更直观、更容易理解？技术能否让数学变得更有趣、更有吸引力？技术能否有助于初中生有意义地学习数学？

在数学软件行业中，人们普遍的做法是：为处理平面几何问题而开发了动态几何软件（DGS），为处理代数运算问题而开发了计算机代数系统（CAS），为处理模拟随机过程问题而开发了随机过程模拟平台（PSP），为处理学生编程问题而开发了儿童编程语言（KPE），为处理课件制作问题而开发了课件整合工具（CDS）. 张景中院士带领的团队所开发的《Z+Z超级画板》为代表的动态几何教学软件得到广泛应用. 《Z+Z超级画板》能够处理几何、代数、三角、概率、统计、算法、积分等数学知识中绝大多数模块的内容，它适用于小学、初中、高中和大学阶段的数学教育. 《Z+Z超级画板》研发团队还提供了整套的课程资源库，具有以下特点：几乎涵盖初中阶段数学课程的每一个知识内容，能够形象展示数学知识发生、发展的过程，动态性高；可以重复演示，任意设定展示的步骤和过程，交互性强；字体、颜色、文本内容、方程表达式等统统可以编辑、修改，实现一件多用；可以增加对象、添加署名、保存设置，进行个性化设计.

具体来说，《Z+Z超级画板》针对初中数学教学和学习主要具有以下功能.

作图：通过鼠标或者命令能够直接作出几十种常见的几何图形. 图形可以平移、旋转或放缩.

变换：指定要进行的变换后，选择被变换的对象执行变换命令，即可得到变换后的图形. 若变换的条件是动态的或者是参数，可以轻松展示图形动态变换的过程.

动态测量计算：能够直接测量点的坐标、直线的方程、圆的面积等，测量的结果还可以进一步参与运算；几何对象发生变化时，测量和计算的结果会发生相应的改变.

函数方程作图：输入表达式即可作出对应的曲线. 方程可以是显性方程、参数方程、极坐标方程、超越方程等. 方程中能够带有参数，参数改变则曲线的性质对应改变.

智能文本公式：在文本框中输入数学表达式后，即可同步显示为传统格式的数学公式. 文本内的变量或公式还能参与数值计算和符号运算，大大提高输入数学公式的效率.

数值符号运算：能够方便进行一般浮点数的数值运算，还能对分数、无理数、变量等进行精确的符号运算. 另外，系统内部还提供了进行各种运算的函数.

程序运行环境：支持赋值、判断、循环等语句结构，能够自定义函数，与一般高级程序语言中的语法习惯一致，能够满足基础教育阶段利用算法解决一般数学问题的需求.

随机过程模拟：根据系统提供的随机函数以及屏幕自动刷新的机制，可以直观模拟翻硬币、抛豆子、掷骰子、布丰投针等随机过程，并自动记录统计数据，计算统计结果.

统计表格生成：统计表格能够自动记录某一项或某几项表达式的测量结果，亦可通过手工输入数据. 统计表格能方便地变为折线图、条形图、扇形图等.

自动推理证明：系统能够自动记录用户作图过程中对象之间的几何关系，然后根据内部的规则（定理）进行推理和计算. 根据推理得到的信息，用户可以得到或简或繁的解答过程.

让数学变得形象且容易理解

《Z+Z超级画板》能够让抽象、枯燥的数学变得更直观、更形象、更容易理解，通过动手、观察、猜测、验证等过程，帮助学生理解变化对象中不变的数学关系，从感性认识上升到理性认识.

例如，通过《Z+Z超级画板》中的随机模拟实验帮助学生深刻理解概率和频率等概念的数学本质等.

让数学变得有趣且具有吸引力

利用《Z+Z超级画板》中绘制的数学对象在变化中能够保持其不变的性质，使得很多数学问题可以动手操作、探索实验了，从而让数学看得到、摸得着，变得更有趣、更具吸引力.

例如，解析几何中的“梯子下滑问题”：有一个长5米的梯子，其一端靠在墙上、另一端放在地面上，当梯子沿着墙面下滑的过程中：（1）求梯子中点的轨迹方程；（2）求梯子上距离墙角最近的点的轨迹方程；（3）求梯子所扫描区域的边界的曲线方程……

在传统学习手段条件下，学生只能通过推理和计算得到一个一个的方程，而有了计算机和《Z+Z超级画板》之后，就能观察到这些方程所对应的漂亮的、有吸引力的图案（图2）. 这些美丽的、有趣的图案对学生的吸引力，必将慢慢转化为数学对学生的吸引力.

让数学变得开放且具有挑战性

当学生利用计算机和《Z+Z超级画板》学习数学经历一段时间之后，处理问题的方式会更加多样化，思考问题的方式会更加具有开放性. 原来想到而没做到的问题，现在开始努力尝试解决；原来没有考虑到的问题，现在开始不断思考.

例如，对于纸上的点来说，利用计算机作出的点能够运动，而运动的方式又有很多种：随意运动、沿直线运动、沿圆周运动、沿曲线运动、沿多边形边界运动、单方向运动、往返运动、连续运动、跳跃运动，等等. 因此，对于下面这个开放性的问题来说，极具挑战性.

例如，如图3，点A为圆O上的动点，点B为圆O′上的动点，点C是线段AB的中点，当点A和点B分别在各自所在圆上运动时，求点C的轨迹.

点A和点B可以以不同的方向、不同的起始位置、不同的速度在各自的圆上运动，在计算机中利用《Z+Z超级画板》均能动态模拟和直观展示这些过程，但点C的轨迹是什么形状的曲线？有哪些性质呢？并不是马上就能讲得清楚.

如果三个点分别在三个不同的圆上运动，它们之间连线上的一点的轨迹可能是什么形状的曲线呢？如果一个点在圆上运动而另外一个点在一个多边形上运动，它们之间连线上的一点的轨迹有什么性质呢？因此，《Z+Z超级画板》能够帮助学生开拓思维、扩展视野.

让数学变得系统且具有理论性

与物理实验、化学实验不同的是，在计算机中得到一个数学实验的结果之后还需进一步通过数学上的推理与计算.

例如，滚动的车轮边沿上一点所经过的轨迹曲线，是一段圆弧吗？是半个椭圆吗？还是其他什么曲线？这就需要从数学上进行推导和验证.

再如，长半轴与短半轴之和为定值（假设是5）的椭圆包络的边界，两端点分别在x轴和y轴上滑动的定长线段（假设是5）包络的边界，都是在半径为5的定圆内滚动的动圆（直径为2.5）边界上一点所生成的摆线. 但是若要在数学上说明它们为同一种曲线，则数学上需要进一步证明.

不是通过直观观察已经得到结果了吗，为什么还需要证明呢？请看下面的例子：

可见，计算机的恰当使用并不会削弱学生的思考，反而会启发学生更加深入、积极地思考.

大量案例和实验数据显示，《Z+Z超级画板》在实施数学新课程的理念、帮助学生理解数学概念、改善学习方式、提高学习数学的兴趣、增加学习数学的积极性、提高数学成绩尤其是提高数学基础较为薄弱的学生的数学成绩等方面发挥了积极、显著的作用. 《Z+Z超级画板》下的初中数学学习更有意义.endprint