基于数学素养的PISA试题分析及启示

张伟++段素芬

当今享誉教育界的“世界杯”——著名的“国际学生评估项目”（Programme for International Student Assessment，简称PISA）围绕着素养（literacy）这一关键词对各参与国家或地区的教育成效进行评估与比较.PISA测评关注的“素养”是指学生是否准备好去应对未来的挑战，是否具有有效地分析推理和交流自己的思想观点以及终身学习的能力，同时强调在真实生活情境中考察学生运用知识和思维能力的表现，以反映学生面对未来生活与学习能力的状态.PISA2012轮回到数学素养作为主要的测试领域，其中数学素养（Mathematical literacy）的定义是，明确和理解数学的作用，认识和运用数学的能力，从而作出有理据的判断，以配合个人发展，做一个建设社会、关心社会、善于思考的公民.[1]数学素养关乎更广义的、功能性的数学应用，包括各种情境中识别和演绎数学问题的能力.关于数学素养，顾沛先生曾说，很多年的数学学习后，那些数学公式、定理、解题方法也许都会被忘记，但是形成的数学素养却终身受用，数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西.

1 PISA数学素养评估架构

1.1 总体架构

PISA的评估题目依据数学素养而建构，评估15岁学生在面对真实世界的问题时，能运用数学知识和技能的程度，主要由三部分构成：问题所处的情境；用于解决问题的数学内容；为了解决真实世界中的问题，将实际问题与数学相联系的多种能力.题目类型和精熟程度也是PISA数学素养评估的重要部分[1].

1.2 内容领域

PISA评估的数学内容主要包括四大领域：空间与图形、变化与关系、数量、不确定性与数据.这四个领域数学内容的确定，一方面是基于数学内容在人类世界各种问题中所呈现的本质，另一方面也涵盖了数学课程的知识领域.具体的，空间与图形涉及空间和几何的现象和关系，会用到课程中的几何学；变化与关系涉及变化以及变量之间的从属和函数关系的数学形式，与课程中的代数关系最为密切；数量涉及与数字有关的现象，以及量化关系和样式，这与算术内容有关；不确定性与数据涉及与统计和概率相类似的现象和关系.虽然PISA测试的数学内容与传统数学课程相关，但并非一般的学校数学课程内容.

1.3 数学过程

PISA数学素养在具体测试题目的整体策略可看作是一种“数学化”的基本过程.这个过程包括五个步骤：从真实问题入手；识别相关的数学概念，重新组织问题；以数学问题来表述真实世界的问题；解答数学问题；依据原本的真实问题演绎数学答案.成功进行的“数学化”过程依赖于多种数学能力，PISA测试的是学生要确定一种特定的表述方式以反映七种典型的数学能力：①交流；②表征；③设计策略；④数学化；⑤推理和论证；⑥使用符号化、形式化和技术性的语言和运算；⑦使用数学工具.

1.4 情境维度

一位德国学者曾举过一个精妙的比喻：将15克盐放在你面前，无论如何你都难以下咽.但当将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你却在享受佳肴的同时，将15克盐全部吸收了.数学知识好比盐，是一个人成长过程中不可缺少的重要组成部分，知识情境好比美味可口的汤，是数学学习、数学思维和数学活动必不可少的支撑条件.从数学学习的知识本质看，数学学习离不开情境.也就是说，数学学习中的知识建构总是与知识赖以产生的背景意义和环境关联在一起的，即知识与学习总是具有情境性的.PISA非常强调运用数学知识和技能在真实生活中的问题解决，而且数学方法和数学表达要取决于具体的问题情境.基于数学素养的PISA评估试题都置于特定的情境中，以评估学生在不同情境中发挥和运用数学的能力.PISA数学试题的情境维度主要有四个：个人情境、职业情境、社会情境、科学情境.

1.5 题目类型

PISA充分考虑测试题目呈现的格式和类型对学生成绩的影响，来获得学生对数学任务的回应.具体的题目类型包括：简单或复杂的选择题；封闭题；简答题；开放题.选择题经济实用，被各类测试广泛使用，适合于认知技能要求较低的题目，主要测试学生对知识的再认以及简单的运算和联系.选择题有时可以依靠猜测来作答，就有必要用其他的类型题来评估更高层次的目标.封闭题要求学生提供简明的答案，而简答题的作答要稍长于封闭题，开放题则要求更长的篇幅作答，而且回答中通常涉及多种高层次的认知活动.

1.6 精熟程度

PISA数学素养的评估采用六级精熟度来描述学生的成绩，学生在数学题目上的成绩，被转化为一份综合数学素养量表上的素养得分.量表对应六个精熟度，每个精熟度代表着不同难度的题目群，从最容易的第1级到最难的第6级[1].

2 PISA2012数学试题分析

PISA数学试题主要有两部分组成：情境、问题.下面编译部分PISA2012数学素养评价试题，并进行简要分析[2].

2.1 CD销量

乐队4U2Rock和The Kicking Kangaroos在一月份时发行了新CD.二月份时乐队No Ones Darling和The Metafolkies也发行了新CD.图1展示了各乐队1月至6月的CD销量.

图1问题：乐队No Ones Darling在哪个月的销量首次超越乐队The Kicking Kangaroos？

A.没有 B.3月 C.4月 D.5月

这道简单选择题属于社会情境.并非所有的学生都关注唱片的销量，但读懂类似的数据关系图应该是公民应有的技能和知识.就数学能力而言，解题只需很有限的“数学化”：理解简单的文本“乐队No Ones Darling首次超越乐队The Kicking Kangaroos”，以及把特定的信息与具体的直方图信息联系起来.因为所需要的信息已明确列出，所以解题所要求的能力只是执行惯常程序或直观读图进行判断.由于这道题有熟悉的情境、简单明确的问题，以及惯常的程序，因此属于第1等级.

2.2 自行车码表

海伦刚买了一辆新自行车，这辆自行车的车把上安有一块码表，它可以告诉海伦骑了多远并且平均速度是多少.

问题：海伦先骑了4千米，花了10分钟；又骑了2千米，花了5分钟.下面哪个说法是正确的？

A.海伦前10分钟的平均速度大于后5分钟的平均速度

B.海伦前10分钟和后5分钟的平均速度相同

C.海伦前10分钟的平均速度小于后5分钟的平均速度

D.无法确定海伦的平均速度

这道选择题涉及学生个人的日常生活情境，属于“数量”知识领域.作为现代社会公民，都应知晓平均速度的概念和计算，解答过程只是简单除法的基本运算.这道题目使用了单一的表征形式，学生可从单一来源提取并运用信息.此题属于第2等级.

2.3 发动机排量

克里斯刚拿到汽车驾照，她打算买人生中的第一辆车.下表是她在当地一家汽车专卖店里获得的4辆汽车的详情.

问题：哪辆汽车的发动机排量是最小的？

A.Alpha B.Bolte C.Castel D.Dezal

这道选择题涉及汽车司机的日常工作环境，属于职业情境.有学识的公民，即使并非司机，都应该能理解题目中的信息，包括数字语言和图表表征，以理解和解答问题.此题要求学生比较四组数据的特征，这是简单的大小关系的数量比较.值得一提的是，这道题目里包含冗余信息（年份、广告价格、行驶里程），有些学生可能会被干扰，但这类冗余资料在现实生活中比较普遍.发动机排量的大小比较使题目属于“数量”这一内容范围，解答过程只是四个数的大小关系的比较.所有必需、甚至冗余的资料，都展示于容易辨认的情境中.此题属于第3等级.

2.4 进入旋转门

某大楼的一个旋转门有三个扇门，在一个圆形区域内转动.该圆形区域的直径是2米（200厘米）.这三扇门将圆形分成相等的三部分.图2是俯视三扇门的三个不同的状态.

图2问题：该旋转门1分钟转4圈，在门的三个区域中每个最多同时站2人.30分钟内最多能有多少人进入大楼？

A.60 B.180 C.240 D.720

这道复杂选择题属于社会情境，就数学内容而言，学生需要应用关于程序的知识和数字运算：乘法.而且这道题目涉及数量情境，解题所需的能力并不简单：学生需要思考旋转门旋转1圈最多能进入6人，1分钟转4圈，即1分钟最多能进入24人.这样30分钟最多能进入720人.虽然解题所需的数据已经明确列出，但因为识别适用的数学有一定难度，而且将现实情境简化为数学题对学生来说也有一定困难，所以解题要求的“数学化”过程层次较高，解题所需的能力是逐层推理和运算的能力.这道题目的主题（进入旋转门）是学生熟悉的社会情境，具体情况却是复杂的，非惯常的问题要求推理能力和洞察力以及计算的能力.这道题目属于第4等级.

2.5 登富士山

富士山是日本著名的休眠火山.游客可在每年的7月1日到8月27日爬山.大约有20万人在这段时间登上富士山.沿御殿场步行道登上富士山的行程一共是9公里.步行上山的游客需要在晚上8点之前走完18公里的路程回到出发地.Toshi预计他上山的平均速度是每小时1.5公里，下山的速度是上山的两倍.该速度已经包含了吃饭和休息的时间.

问题：按照Toshi的速度，他最晚应该几点开始爬山，才能在8点前回到出发地？

这道题目的社会情境是学生比较熟悉的：登山.情形是Toshi上山的速度是1.5公里/小时，下山的速度是3公里/小时，上山和下山的路程都各是9公里.要解答的问题是根据路程、速度与时间的程序（路程÷速度=时间）求出上山需要的时间是6小时和下山需要的时间是3小时，进一步知道上山和下山一共需要的时间是9小时.然后根据题目提供的信息“必须在晚上8点之前返回出发地”，进行推算，得到Toshi必须在上午11点之前开始爬山，才能保证在晚上8点之前回到出发地.这道题目属于“数量”这一内容领域，学生需要透过推理和洞察力去理解和分析有效信息，并且表达准确的时间“上午11点”.这道题目展示了第5等级.

2.6 平均速度

海伦从家骑车到河边，路程是4公里，用了9分钟.她回家时选择了一条更短的路线，路程是3公里，用了6分钟.

问题：海伦往返全程的平均速度是 千米/小时.

这道封闭题属于个人情境，这类仿真实的问题通常也出现在数学课堂上.题目中涉及的能力当然与数学素养有关，学生对路程、速度与时间的程式化的运算大多比较熟悉，但要想成功解题，必须注意题目中提供的信息是以“分钟”为时间单位，而问题中所求的平均速度却是“千米/小时”的单位.所以学生需要译解题目信息，并看出异同之处.学生首先需要知道“总路程÷总时间=平均速度”的运算程式，然后对时间单位进行换算，最后做除法运算.本题属于第6等级.

3 对试题设计与编制的启示

教育的任何变革最终都要落实到学生的发展上，学生面向未来的发展才是教育评价的宗旨所在.随着新课程改革的日渐深入，面对亟需与新课程改革理念相匹配甚至更高更远的教育评价，PISA数学试题的测试内容贴近学生的日常生活，而且测试题的背景范围宽广，不仅是知识之间的相互联系，更注重数学与社会、科学等的联系，PISA将对数学素养的理解置于一个广阔的背景中，与个人生活、社会生活，甚至人类世界密切联系，始终强调在不同的背景中理解和运用数学，给数学试题的设计与编制以深刻的启示.

3.1 创设真实的试题情境，突出对数学本质的理解

承载评价理念的具体对象当属评价内容，评价内容反过来也直接体现评价理念.来自PISA2012的数学试题告诉我们，要想全面评价数学素养，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观缺一不可，在此基础上还要将三者融入适当的真实情境中.PISA通过“尊重学生的需求、重视学生的经验”的价值取向来评价教与学，并非只看学生掌握多少知识，更要看学生能够在实际生活中创造性地运用这些知识和技能的能力如何，真正体现和实施的是“为生存、为未来而学习”.这种评价理念下的价值取向指引PISA试题创设的情境具有生活性、趣味性和迁移性.试题先呈现图表或一段简短的文字，使学生能够很快进入情境，在感知真实情境中缩短了学生与试题的距离.情境要为考察知识和能力的问题服务，问题要具有一定的趣味性，以吸引学生感兴趣，进而探究情境中的问题.情境的生活性和趣味性都要指向迁移性，即对数学本质的认识、理解和运用的考察，在情境的设置下是“形异而神似”的.上述测试题中涉及的知识情境包括唱片销量、发动机排量、登富士山、自行车码表、平均速度、进入旋转门等，考察学生在熟悉、真实的情境中对数学知识的理解和运用.考虑到中学生普遍缺乏社会实践的实际，中高考结合实际背景的试题难度不宜太大，同时数学问题情境应简单化、大众化，即“草根化”.知识给情境蕴育了丰富的内涵，情境给知识呈现以自然的状态.这样，问题与情境相连，与学生的生活经验、社会生活实际相联系，并以此引导数学教与学的努力方向.

3.2 测试问题解决的数学能力，突显对数学功能的应用

如果说真实性是试题情境的基本前提，那么实用性应该是试题情境的最终目的.PISA测试中几乎没有单纯考查记忆性和计算性知识的试题，而是以知识为载体重点考查学生解决真实世界问题的数学应用能力，这种应用能力是面向学生未来生存和发展的.从数学的广泛联系和应用来评价学生的数学素养，评估学生如何面对未来的挑战，如何有效地分析、推断和交流问题解决的思想，这正是数学面对社会实际中的广泛应用而提出的，属于PISA数学素养的评估与测试.当前，新课程理念下的数学测试在测评数学知识和技能的基础上，更加关注数学能力的发展，但主要还是重视知识和技能的本身能力，对数学在真实问题解决中的应用能力体现较少.爱因斯坦说过，“问题不可能在造成它们的精神状态中得到解决”.换言之，问题解决是需要驱动学生的外部条件来实现的，包括动机、知识、工具和策略等.这种有实际意义的问题任务，会迅速驱动学生的解决欲望，从而优化组合数学能力以解决问题.给学生以“学以致用”的真情实感，让学生在测试题中“以评促学”，真正在考试试题中突显数学的应用功能，才能进一步激起学生的学习兴趣和求知欲.

3.3 注重数学内外兼有的评价方式，突破“教材中取材”的局限

要想实现对学生数学素养的真正评价，就必须对测评内容有所突破和创新.目前，我们现有的测评试题仍主要是“从教材中取材”、“从习题中选题”，以此来检测学生对知识和技能的熟练掌握.数学试题散发浓厚的“数学味”是无可厚非的，但数学教育评价的主体是数学素养，“学以致用”和“实践出真知”是否也应该成为试题设计和编制的价值导向？目前大部分中高考试题仍以课本知识为主要测试范围，“已知……，求……”的这种测试模式占据了大部分题目，学生怎能做到“读你千遍也不厌倦”？基于数学素养的PISA，测评的是学生面对未来学习和生活的能力，关注的是学生的发展.PISA测试题都建立在一个真实的情境上，在对学生数学素养的认知进行评估的同时，还对非认知的学生背景，包括对数学学习的态度、价值观和信念等进行问卷调查，以分析学生数学成绩与问卷中相应问题的关系.通过问卷调查的内容，评价者能够详细地分析造成学生成绩产生差异的原因.PISA倾向于采用既有“数学内”的测试，也有“数学外”的情境问题来评估学生的数学素养，这种评价方式值得借鉴.当前，我们的学生从幼儿园起就学习数学，可以说数学是相伴最久的学科，同时也成了学生几乎所有学科中付出最多、最难、最不喜欢的学科了.教育研究者和实践者们不得不反思，数学教育评价中仅有数学认知的测评，而忽视学生非认知的情感、态度、价值观等因素，是不完整的教育评价.此外，PISA数学测评中不仅仅涉及数学知识与技能，还触及数学之外的其他生活与科学的知识领域，这与数学课程标准里的“基本活动经验”是相一致的.课程标准作为先期纲领性的指导，与之相呼应的应该有后期一致的教育评价，反过来匹配合适、价值皈依的教育评价也促进了课程标准的实施.

面对新课程理念下的中高考数学试题设计，在体现筛选与甄别功能的基础之上，我们对试题的情境性、真实性、问题性和发展性是值得探索的.理念是灵魂的东西，教育评价的理念相当于教育改革的灵魂所在.教师的教和学生的学都循着“知识—能力—素养”的维度螺旋上升着，教育评价能否沿着“素养—能力—知识”的路径来指引教与学呢？PISA测评代表着一种新的评价理念，用发展的眼光看待评价，用动态的评价去促进学生的发展，注重评价的教育发展功能，是教育不懈的追求.

参考文献

[1] 何瑞珠，卢乃桂.从国际视域论析教育素质与平等——PISA的启示[M].北京：教育科学出版社，2011.

[2] OECD（2013）.PISA2012Assessment and Analytical Framework：Mathematics，Reading，Sciencs，Problem Solving and Financial Literacy，OECD Publishing.