基于全变量信息的子空间监控方法

吕小条，宋冰，谭帅，侍洪波

（华东理工大学化工过程先进控制和优化技术教育部重点实验室，上海 200237）

引 言

随着现代工业及科学技术的迅猛发展，系统的规模和复杂性不断增加，过程监控变得越来越重要。有效的过程监控可以保障生产安全、保证产品质 量[1]。然而，实际化工过程的监控系统得到的数据往往维度较高，变量间关系复杂，直接基于原始数据建立检测模型较为复杂。为了得到包含原始数据主要特征的低维数据，出现了多种降维方法[2]。

多元统计过程监控（multivariate statistical process monitoring，MSPM）方法通过降维，得到了包含原始数据主要特征的低维数据，然后基于低维数据建立故障检测模型，目前已在化工过程中得到了广泛的应用[3-6]。PCA 是目前研究较多的多元统计过程监控方法之一，然而，传统的PCA 过程监控方法通常会造成信息缺失。一方面，由于PCA 将原始数据投影到PCS 和RS 两个空间，主元空间仅保留了方差较大的主元，丢弃了方差较小的主元，破坏了信息的完整性；另一方面，尽管T2和SPE作为互补的监控指标，但是它们监测过程的不同方面，在过程监控中的地位是不对称的。这样，在线检测时，这种差异会进一步加剧，造成信息缺失[7-8]。信息缺失会影响过程监控性能。

为了更好地实现化工过程故障监控，近几年，许多学者从子空间角度提出了多种故障监控方法。Ge 等[9]提出了非线性过程监控的线性子空间方法（BSPCA），该方法基于PCA 分解构造线性子空间，将原始过程变量划分为k+1 个子块。文献[10]首先通过k均值聚类算法划分不同的操作模态，然后在单一模态下，用多个线性子空间近似过程变量的非线性特性，解决了具有非线性特性的多模态问题。文献[11]针对Plant-Wide 过程，利用PCA 分解将原始数据划分成k+1 个子块，然后在每个子块中建立PCA 模型进行监控，这种划分子块的方法不需要任何过程知识。文献[12]将ICA 与子空间有机结合，提出了基于独立元贡献度的子空间故障检测方法，用于处理非高斯过程。上述子空间方法的共同特点：在构造每个子空间时，均挑选了对该子空间贡献度较大的变量，因此同一变量可能出现在多个子空间中，存在变量的重叠，会导致过程信息的冗余。Zhang 等[13]利用子空间方法处理多模态及动态问题，使得模态划分更加准确，算法复杂度大大降低。该方法提取了不同模态的共同信息，构成共同子空间及每个模态下的特定子空间，在子空间中采用、SPE 作为监控指标，由于、SPE 在过程监控中地位不对称，导致信息缺失问题。Jiang 等[14]提出了基于SPCA 的故障检测和诊断方法，根据T2的变化率来挑选主元，将对故障敏感的主元划分在同一子空间中。但敏感主元只在故障发生时被挑选，还有一些主元不能被挑选，造成过程信息的缺失[15]。

为了在降维的同时更好地保存变量信息，本文提出一种基于全变量信息的子空间监控方法（FVI），用于线性过程监控。首先，PCA 分解得到两个正交且互补的空间PCS 和RS，考虑到每个变量与PCS 和RS 关联程度不同，可将关联关系相似的变量划分在同一子空间中，这样可确保不同子空间之间的差异性，以及同一子空间内部的有效性。本文采用夹角来衡量每个变量与PCS 或者RS 的关联关系。该变量与PCS（或RS）夹角越小，说明它在PCS（或RS）上的投影越大，即与 PCS（或RS）的相似性越高，反之亦然。故可依据夹角的大小，将全部变量划分为3 个子空间：①子空间Ⅰ，变量与PCS 夹角小，与PCS 相似性高；②子空间Ⅱ，变量与RS 夹角小，与RS 相似性高；③子空间Ⅲ，变量与PCS 和RS 的夹角均大，与二者相似性均低。这样，原始数据空间被划分成3 个低维的子空间，然后，在每个子空间中建立监控模型，采用马氏距离作为监控指标，并利用贝叶斯推断整合各个子空间的监控结果。FVI 方法构造的3 个子空间包含了全部过程变量，可以更充分地利用过程信息。最后，通过数值仿真及TE 过程仿真研究验证了FVI方法的有效性。

1 PCA 简介

考虑数据矩阵：X=[x1,x2,…,xn]T∈Rn×m，其中m表示变量，n表示采样数。在进行PCA 建模之前，先对数据进行标准化，将X的各列处理成单位方差且零均值的变量。定义标准化后的协方差矩 阵为

对C进行特征值分解，并按照特征值大小降序排列。则PCA 对X进行如下分解

其中，P∈Rm×k、∈Rm×(m-k)分别为PCS 和RS 的负载矩阵，T∈Rn×k、∈Rn×(m-k)分别为PCS 和RS的得分矩阵。

2 子空间的构造方法

2.1 理论依据

传统PCA 过程监控方法在降维时会造成信息缺失，严重影响过程监控性能。受分块建模策略和关键变量选择方法的启发，可以将全部过程变量划分成截然不同的多个子块，即将原始数据空间用多个子空间近似[16]。要建立合理的子空间监控模型，关键要确保子空间的差异性和有效性。差异性要求各个子空间之间的差别要大，能够更好地反映不同方面的信息，减少冗余；有效性要求单个子空间要包含足够信息，这样才能反映各个内在成分的特征和变化。

考虑到每个变量与PCS 和RS 关联程度不同，将关联关系相似的变量划分在同一子空间，这样可确保构造出的子空间具备差异性和有效性。本文采用夹角来衡量每个变量与PCS 或者RS 的关联关系。该变量与PCS（或RS）夹角越小，说明它在PCS（或RS）上的投影越大，即与 PCS（或RS）的相似性越高，反之亦然。故可依据所得的夹角来划分子空间，下节将详细介绍子空间的划分方法。

2.2 子空间的划分方法

首先，对标准化后的数据X∈Rn×m进行PCA 分解，得到PCS 和RS，然后计算变量i(i=1,2,…,m)与PCS 的夹角θiPCS

其中，Xi代表X的第i列，即第i个变量。变量i与RS 的夹角θiRS

由于Xi是一个向量，而T和均为一个矩阵，求上述夹角，即求一个向量与一个矩阵所张成的子空间之间的夹角[17-18]。

设T张成的子空间为F1，即

分别对T和Xi作QR 分解，求得标准正交基

然后对作SVD 分解

则向量Xi与矩阵T所张成的子空间F1 之间的夹 角为

其中0°≤θiPCS≤90°，由于PCS 和RS 正交互补，所以有下面等式成立

式(9)表明：同一变量与PCS 的夹角同与RS 的夹角之和为定值90°。说明某变量与PCS 夹角越小，则与RS 夹角越大，夹角的大小表征相似程度的高低，故可依据每个变量与PCS 和RS 相似性的高低来划分子空间。由于=90° -，因此统一采用θiPCS来构造子空间。定义θcut1和θcut2作为分界值，构造的3 个子空间如图1所示：①子空间Ⅰ，变量与PCS相似性高，0°≤θiPCS≤θcut1；②子空间Ⅱ，变量与RS 相似性高，θcut2≤θiPCS≤90°；③子空间Ⅲ，变量与PCS 和RS 相似性均低：θcut1≤θiPCS≤θcut2。

选取分界值θcut1和θcut2时，要确保每个子空间内部的有效性，有效性体现在同一子空间中的θiPCS相对集中，因此可采用K均值聚类算法对(i=1,2,…,m)进行聚类，得到子空间Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中的变量。聚类完成后，子空间Ⅰ中最大角度记为θI,max，子空间Ⅲ中最小角度记为θIII,min，最大角度记为θIII,max，子空间Ⅱ中最小角度记为θII,min，则分界值θcut1∈[θI,max,θIII,min)，θcut2∈(θIII,max,θII,min]。

图1 3 个子空间构造示意Fig.1 Schematic diagram of three subspaces construction

2.3 监控结果整合

子空间构造完成后，全部过程变量被划分成3块。在每个子空间中，计算马氏距离作为监控指标

其中，s表示子空间，取1，2，3（对应子空间Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），Xs表示子空间s中的变量构成的矩阵，Ss表示子空间s的协方差矩阵，ms表示子空间s所包含的变量数目，满足：表示自由度为ms的控制限。

通常情况下，不同子空间的监控模型具有不同的控制限，因为子空间的自由度ms不一定相同。因此，对于新的监控样本xnew，不能从3 个子空间的监控结果直接得到最终的监控结果。本文采用贝叶斯推断策略，将3 个子空间的监控结果以概率的形式整合[19]。首先，xnew在每个子空间中发生故障的概率计算如下

式中，N和F分别代表正常和故障，P(N)和P(F)分别代表正常和故障的先验概率，P(N)和P(F)分别定义为α和1-α，其中α表示置信水平。为了得到Ps(F|xnew)，还需要知道Ps(xnew|N)和Ps(xnew|F)，对这两个概率定义如下

这样便得到xnew在每个子空间中发生故障的概率Ps(F|xnew)。定义最终的监控结果为 BIC(xnew)，为了更好地整合结果，采用添加权重的方法将得到的3 个概率作如下整合，求得最终的监控结果

整合后的控制限： BIClim=1-α，当 BIC(xnew)超过控制限时，说明有故障发生，否则，视为正常过程。

对于变量间关联强的化工过程，θiPCS(i=1,2,…,m)的分布会相对集中一些，可能会出现某个子空间为空的情况。

3 基于FVI 方法的过程监控

基于FVI 方法的过程监控包括离线建模和在线检测两个阶段。

3.1 离线建模

（1）采集正常训练样本数据X，并对数据进行标准化；

（2）对X进行PCA 分解，得到主元空间PCS和残差空间RS；

（3）根据式(8)，计算Xi与PCS 的夹角θiPCS；

（4）对θiPCS进行聚类，Xi被分成3 块，对应子空间Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；

（5）在每个子空间中，计算协方差矩阵Ss，根据式(10)确定子空间的控制限Ds,lim；

（6）取整合后的控制限 BIClim。

3.2 在线检测

（1）对于新的测试数据xnew，进行标准化；

（2）根据离线建模步骤(4)，xnew的全部变量相应地被分成3 块，构成子空间Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；

（3）在每个子空间中，利用离线建模阶段得到的Ss，计算马氏距离Ds；

（4）利用贝叶斯推断策略整合3 个子空间的监控结果，得到 BIC(xnew)；

（5）判断 BIC(xnew)是否超过控制限 BIClim，若超过，说明有故障发生，否则视为正常。

图2为离线建模和在线检测的流程图。

图2 FVI 方法的流程Fig.2 Flowchart of FVI method

4 仿真实例

本节对两个例子进行仿真研究，第1 个是数值例子，第2 个是Tennessee Eastman（TE）过程。将FVI（BIC）方法与PCA（T2，SPE）方法的仿真结果进行比较，证明本文方法的有效性。

4.1 数值仿真

本节参照文献[8]中的数值例子，构造出的数值模型结构如下

其中，t=[t1,t2,t3,t4,t5]T是零均值高斯分布的数据源，其标准差分别为1，0.8，0.6，0.9 和0.3。噪声noise 服从零均值，标准差为0.01 的高斯分布。首先，在正常工况下，产生800 个样本作为训练数据。然后设定两个故障：故障1，201T=时刻起给x3加一个幅值为1 的阶跃信号；故障2，T=201 时刻起给t5加一个幅值为3 的阶跃信号。两种故障工况下，分别产生800 个样本作为测试数据。在测试数据中，前200 个样本是正常样本，后600 个样本是故障样本。

表1 两种方法的误报率和漏报率Table 1 Fault alarm rate and miss alarm rate of two methods/%

PCA 方法采用方差贡献度选取主元个数，设定方差贡献度为0.85。FVI 方法的参数设置如下：PCS的维度为2。计算每个变量与PCS 的夹角，对夹角值进行K均值聚类，构造的3 个子空间变量组成如下：子空间Ⅰ：x4，x5；子空间Ⅱ：x2；子空间Ⅲ：x1，x3。统计量的置信限均为0.99。

表1给出了PCA 方法和FVI 方法对两个故障检测得到的误报率和漏报率，表中粗体表示检测结果的最优值。从表1可看出，与PCA（T2，SPE）方法相比，FVI（BIC）方法的检测效果更好。当误报率在允许范围内，对于故障1，PCA（T2，SPE）方法中T2统计量和SPE 统计量的漏报率均在90%以上，基本检测不出故障；而FVI（BIC）方法中BIC 统计量的漏报率为0，可以准确地检测出故障1。对于故障2，PCA（T2，SPE）方法中T2统计量的漏报率为13%，SPE 统计量的漏报率为85%，检测效果较差；而FVI（BIC）方法仍然可以准确地检测出故障。

为了更好地说明FVI 方法的有效性，图3给出了两种方法的统计量对数值例子中故障1 的茎叶图，图中纵坐标分别表示T2值、SPE 值和BIC 值。由图3可知，对于数值例子中故障1，故障数据与正常数据的T2和SPE 值没有明显差别，说明T2和SPE 不能有效地区别正常数据与故障数据；而故障数据的BIC值明显大于正常数据的BIC值,说明BIC能很好地识别故障。

4.2 TE 过程仿真

图3 数值例子故障1 的 T 2、SPE 和BIC 茎叶图Fig.3 T2,SPE and BIC stem plots of fault 1 in numerical example

TE 过程是基于实际工业过程的仿真实例，已经 被广泛作为连续过程的策略、监视、诊断、优化的研究平台。整个过程包含5 个主要操作单元，即反应器、冷凝器、气液分离塔、循环压缩机和汽提塔。TE 模型具有6 种操作模式，12 个操作变量和41 个测量变量，并且可以人工设定21 种故障工况[20-22]。

本文采用单模态数据作为过程数据，选取33个变量作为过程监控变量。在正常工况下，采集960个样本作为训练集；在故障工况下，每个故障采集960 个样本作为测试集，故障均在第160 个采样点加入。所取的置信限均为0.99。在21 种故障中，故障3、9 和15 难以检测且对过程影响较小，因此，本文选取剩余的18 种故障用于检测。

在PCA 方法中，首先对正常工况下的数据进行标准化，然后进行PCA 建模，采用方差贡献度选取主元个数，设定方差贡献度为0.85；在FVI 方法中，同样先对训练集进行标准化，接着进行PCA 分解，得到PCS 和RS，PCS 的维度为9，由交叉验证得到。对33 个夹角值进行K均值聚类，3 个子空间的变量组成如表2所示。表3给出了PCA 方法和FVI方法对18 种故障的平均误报率，表4给出了两种方法对18 种故障的漏报率，表中粗体表示检测结果的最优值。从表4可看出，对于18 种故障，FVI 方法对其中17 种故障均能达到最优的监控结果，仅故障13 较PCA 方法漏报率略高一些。同时可以发现，对于故障1，2，6，7，8，12，13，14，18，PCA方法和FVI 方法的漏报率都很低，这是因为上述故障幅度较大，很容易被检测出来。而对于一些较难检测的故障，如故障5，10，16，19，PCA（T2，SPE）方法的漏报率均超过了65%，而FVI（BIC）方法的漏报率均低于15%。这是因为PCA 方法在降维时丢失了一部分重要的信息，所以很难检测出这些小的扰动。而FVI 方法在降维的同时保存了完整的变量信息，因而检测能力显著提高。

表2 3 个子空间的变量组成Table 2 Variable composition of three subspaces

表3 两种方法的故障平均误报率Table 3 Average fault alarm rate of two methods/%

表4 两种方法的故障漏报率Table 4 Miss alarm rate of two methods/%

5 结 论

本文提出了一种新的基于全变量信息的子空间监控方法。基于PCA 分解，得到PCS 和RS，依据每个变量与PCS 和RS 相似性的高低来构造子空间，并在每个子空间中建立故障监控模型。相较于传统PCA 方法，本文方法保存了全部过程变量，可以更充分地利用过程信息，数值仿真和TE 过程仿真说明了该方法的有效性，过程监控的效果得到了较大的改善。然而，对于实际生产过程，有时很难得到变量在子空间发生故障的先验概率，因此本文方法在实际应用时会存在一定的局限性。

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