叉指状微小力装置力学特性的数值模拟与分析

徐　立，郑培亮，李　倩，黄振宇

叉指状微小力装置力学特性的数值模拟与分析

徐立1，2，郑培亮1，2，李倩2，黄振宇1，2

（1.广东省现代几何与力学计量重点实验室，广东广州510405；2.广东省计量科学研究院，广东广州510405）

针对电容式微小力装置极板间距测量误差对输出结果影响较大问题，采用理论分析与数值模拟相结合，分析一种能大幅减小极板间距测量不确定度对输出微小力影响的新型叉指状微小力装置。重点探讨不同叉指重叠长度、加载电压、间距和厚度等条件下，装置输出微小力特性。结果表明：叉指参数满足一定关系，叉指重叠长度变化对输出微小力几乎无影响；输出微小力与加载电压平方以及叉指厚度成正比；随着叉指间隙增大，输出微小力迅速减小。该装置对简化电容式微小力源装置极板间距测量与位置控制附加机构、微小力源装置设计均具有参考价值。

叉指电容；力学特性；数值模拟；微小力

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2015.09.026

0引言

力是最基本的物理量之一，经过数十年的发展，国内外已建立起比较完善的计量溯源体系。目前建立的计量标准包括大力值（1～20MN）和中小力值（10N～1MN）；对小力和微力的计量目前尚未建立相应量值溯源体系，应用中一般以标准砝码重力来衡量［1-3］。对微小力测量与量值溯源技术，各国计量科研机构均在进行研究。美国国家标准技术研究院（NIST）基于电力学原理，利用静电力方式获得微小标准力，其标称范围可达10nN～10mN，通过与1mg、10mg标准砝码自重相比较，相对误差为10-4量级［4］。德国国家物理技术研究院（PTB）同样采用静电力原理，研制小于10μN电容式微小力测试系统，其分辨率可达10-12N［5］。英国国家物理实验室（NPL）也采用静电力平衡原理，通过平面镜差分干涉仪测量电介体受外力时在电容两极间移动距离，来测量1nN～1μN微小力［6］。中国计量科学研究院采用圆柱状电容结合柔性铰链方式，对微小力量值溯源进行研究［7］。然而，世界各国对微小力计量溯源体系建立相对滞后，微小力测量并无统一、可靠的量值溯源方法［8-9］。

目前，各国科研机构在微小力量值溯源研究中均采用基于静电力的电容式装置。由于电容装置极板间距对输出结果影响较大，为保证输出微小力准确性，需对极板位置进行精确控制且对极板间距进行准确测量，因此这类装置均配备高准确度极板位置控制系统与间距测量系统，装置结构复杂，且成本较高［10-11］。

针对这一问题，本文采用理论分析与数值模拟相结合，提出一种能大幅减小极板间距离控制及测量不确定度对输出微小力影响的新型叉指状微小力装置，其叉指重叠长度对输出微小力值影响小，无需配备高准确度位置控制系统与间距测量系统便能得到准确微小力输出。为微小力量值溯源中简化微小力源测量和位置控制附加装置设计提供理论依据。

1　新型叉指状微小力发生装置结构

1.1叉指电容器结构

如图1所示，新型叉指状电容结构由相互交叉的两叉指状电容构成（A与B叉指）。每个叉指电容包含有若干金属叉指（图中为5根），每根叉指都被固定于绝缘树脂材料底座上，并呈平行排列，各金属叉指之间通过底座中导线联通。

当叉指状电容A和B上施加电压U时，各根金属叉指将产生一个静电场，从而相互产生静电力作用，对外表现为两叉指状电容器（A和B）间的相互吸引静电力。该结构加工简单，且在两叉指之间能产生微小静电力。

图1　新型叉指装置结构示意图

1.2静电力分析简化模型

根据叉指电容结构，A、B叉指状电容器分别由5根尺寸相同矩形金属叉指组成。A、B间施加电压时，每根叉指均产生相应静电场，且叉指电容器间发生相对运动时，还将产生磁场力作用。为降低问题分析难度，将图1结构简化，由于A、B叉指电容器有周期对称性，可选其中一个单元（图2中虚线框内）进行分析，根据该单元金属叉指间静电力特性便能获得整个装置静电力分布情况。叉指电容器各部分参数如图2所示。

图2　装置简化模型及尺寸参数

2　新型叉指装置的静电力理论分析

根据Johnson W A等［12］分析，两组叉指间参数满足关系c=d=g时，两组叉指间微小静电力为

叉指为图2所示位置时，x0/g＞Δ+，式（1）简化为

式（2）表明：叉指间整体静电力仅与加载电压U、介电常数ε0及叉指间位置参数g、x0有关。叉指间位置参数g、x0与叉指安装准确度相关，只要保证安装准确度，便能输出微小力准确度。此外，若g、x0满足1.0245-g/（πx0）趋近于1，则输出微小力仅与加载电压U和介电常数ε0相关。

3　叉指状电容装置静电力数值模拟分析

本文借助有限元分析中高阶有限元方法研究新型叉指电容装置力学特性，主要针对装置间整体微小静电力进行分析。采用高阶有限元方法逼近真实解的优点是无需用户严格控制网格大小，即可获得要求准确度，且该方法自适应细分网格提供的误差估计比其他静电场分析方法更为准确，最重要一点是该方法能计算局部和总体场情况，并得到所需准确度结果，是计算本文所研究叉指间输出整体静电力最佳途径。

3.1有限元模型的建立与网格划分

为便于与理论计算值进行分析，同时节省计算时间并提高模型计算准确度，数值模拟时，选择图2的简化模型进行分析。

图3（a）为装置简化模型有限元建模及网格划分图，外围圆形区域为围绕在叉指电容器周围远场空气域。图3（b）为围绕在叉指电容附近及叉指间空气域，由于应用中关注叉指电容间静电力，因此将叉指周围空气域进行分层网格化和局部细化。同时，为模拟叉指顶端实际情况，建模时对顶端进行圆弧倒角与局部网格加密细化处理（如图3（c）所示）。

3.2叉指状微小力装置力学特性分析

重叠长度2x0、加载电压U、叉指间隙2 g、叉指厚度2 d等参数对叉指状微小力装置力学特性影响分析如下：

1）重叠长度2x0对装置力学特性影响

叉指状电容装置重叠长度2x0类似于平行板电容器极板间距离，其变化对装置输出微小力的影响直接关系到该装置在微小力量值溯源中的应用。图4为装置输出微小力随叉指重叠长度变化情况。重叠长度较大时（2x0>4mm），输出微小静电力随重叠长度变化较小。叉指重叠长度由4mm变到16mm时，根据式（2）计算出微小静电力变化为5.0%，而数值模拟结果输出静电力变化仅为0.8%。若重叠长度由8mm变化到12mm时，理论计算出微小力变化1.3%，数值模拟结果显示微小力变仅为0.8%。由此可见，采用叉指状电容装置，叉指重叠长度在一定范围内，即使重叠长度出现一定变化，装置输出微小力仍能保持不变。

图3　模型的建立与网格的划分

因此，叉指重叠长度在一定范围内，装置输出微小力不随重叠长度的变化而变化。由于重叠长度对输出微小力影响很小，测量重叠长度时，采用一般仪器得到误差较大的数据也能准确计算输出微小力；在位置控制时，采用一般调节装置即使重叠长度出现微小变化，其输出微小力仍保持不变。若该装置应用于微小力源中，则无需借助复杂精密仪器获得高准确度叉指重叠距离，也能准确计算出输出微小力；同时，无需采用超高准确度位置调节装置对叉指间重叠长度进行准确调节，便可得到准确微小力输出值。该结构这一特性极大地降低了极板间距离测量和位置控制不确定度对输出微小力的影响。

从图中还可以看出，叉指重叠长度较小（2x0＜4mm），装置输出微小力将急速下降。因此，在设计和使用过程中，叉指重叠长度不能太小，一般情况下满足x0/g＞1.5时，则可认为重叠长度对输出微小力的影响较小。

图4　重叠长度2x0对输出微小力影响

图5　加载电压U对输出微小力影响

2）加载电压U对装置力学特性影响

根据理论分析，叉指状微小力装置其他结构参数保持不变，装置输出微小静电力与加载电压的平方成正比。图5为改变加载电压，经理论计算与数值模拟的装置输出微小力特性。由图可知，输出微小静电力理论计算值为一条二次曲线，随加载电压增加，输出微小静电力不断增大。数值模拟结果与理论计算值分布趋势完全相同，数值也吻合较好，数值模拟结果略小于理论分析值。在所分析加载电压区间内（50～1000V）两者最大误差＜0.9%。通过图5也验证了理论式（2）的可靠性。

图6　叉指间隙2g对输出微小力影响

图7　输出微小力与叉指厚度间关系

3）叉指间隙2g对装置力学特性影响

图6为叉指间隙变化时装置的微小力输出值。为便于与式（2）计算结果比较，先分析满足式（2）参数要求（c=d=g）时，装置输出微小力随叉指间隙变化情况。因要求c=d=g，故数值模拟时，在改变叉指间隙2 g同时改变叉指尺寸。

根据式（2），叉指间距增大，1.0245-g/（πx0）逐渐减小，但减小幅度非常微小，此时输出微小力几乎不变。图6中也可看出这一特性：理论计算结果与数值模拟结果均呈水平直线分布，叉指间隙由0.6mm增加到1.4mm，理论计算结果得到输出微小力降低幅度仅为2.5%；而根据数值模拟，其输出微小静电力变化幅度仅为1.8%。由此表明，满足式（2）参数要求（c=d=g）时，叉指间隙对装置输出微小力影响很小。从图中还可看出，数值模拟结果与理论计算结果非常接近，其最大误差在±1.1%以内，再次证明了理论公式（2）的有效性。

仅改变叉指间隙，其他参数不变，此时叉指参数已不满足式（2）要求，无法通过式（2）计算理论值，只能借助数值模拟方法计算装置输出微小力（图6方点所示）。由图可见，叉指间隙增大，装置输出微小力不断降低；在0.4～1.0mm区间内，输出微小力迅速降低，当叉指间隙＞1.0mm，输出微小力降低幅度逐渐减缓。结果表明，叉指间隙越小，间隙变化对输出微小力影响越明显，要获得较大力值，须减小叉指间隙。当叉指间隙增大到一定程度时，间隙变化对输出微小力影响明显减小。因此在设计中，叉指间隙不宜太小，否则间隙的微小变化将导致装置输出微小力大幅改变，且当加载电压较高时，间隙太小易造成尖端放电现象，导致叉指击穿损坏。

4）叉指厚度2 d对装置力学特性影响

叉指厚度2 d对于装置力学特性影响如图7所示。随着叉指厚度增加，输出微小静电力不断上升，数值模拟结果显示叉指厚度与输出微小力间的拟合曲线为一条直线，表明静电力与叉指厚度成正比，在装置设计时，可根据所需输出静电力大小，通过增加叉指厚度成比例增加装置微小静电力输出。

4　结束语

本文运用数值模拟与理论分析相结合的方法，对一种叉指状微小力装置力学特性进行分析。结果表明：

1）叉指参数满足一定关系时，重叠长度2x0对输出微小力影响非常小，作为微小力源时，能大幅减小极板间距离控制及测量不确定度对输出微小力的影响。

2）输出微小力与加载电压U的平方以及叉指厚度2 d均成正比。

3）随着叉指间隙增大，输出微小力迅速减小。叉指间隙越小，间隙变化对输出微小力影响越明显；当叉指间隙增大到一定程度时，间隙变化对输出微小力影响明显减小。

4）本文对简化电容式微小力源装置极板间距测量与位置控制附加机构以及微小力源装置的设计均具有较大实际意义。

［1］Kim M，Pratt J R.SI traceability：Current status and future trends for forces below 10 micro newtons［J］. Measurement，2010，43（2）：169-182.

［2］Chen S J，Pan S S.A force measurement system based on an electrostatic sensing and actuating technique for calibrating force in a micro newton range with a resolution of nano-newton scale［J］.Measurement Science and Technology，2011，22（4）：45-104.

［3］Stefǎnescu D M，Anghel M A.Electrical methods for force measurement-A brief survey［J］.Measurement，2013，46（2）：：949-959.

［4］Pratt J R，Kramar J A.SI realization of small forces using an electrostatic force balance［C］∥Proc.XVIII IMEKO World Congress on Metrology for a Sustainable Development，2006：109.

［5］Physikalisch T，Bundesanstalt B，Berlin B.Facility and methods for the measurement of micro and nano forces in the range below 10-5N with a resolution of 10-12N （development concept）［J］.Measurement Science and Technology，2007（18）：360-366.

［6］Chen S J，Pan S S，Lin Y C.Comparison of milligram scale deadweights to electrostatic forces［J］.Acta Imeko，2014，3（3）：68-72.

［7］Hu G，Song L，Meng F，et al.Research and development of small force standards at NIM［C］∥International Journal of Modern Physics：Conference Series.World Scientific Publishing Company，2013（24）：1360020.

［8］刘明，林玉池，郑叶龙，等.利用静电场原理复现微小力值的实验研究［J］.传感技术学报，2012，25（1）：33-37.

［9］齐永岳，刘明，林玉池，等.可溯源至质量的静电力复现与测量技术［J］.仪器仪表学报，2011，32（5）：1063-1068.

［10］Kim M S，Pratt J R，Brand U，et al.Report on the first international comparison of small force facilities：a pilot study at the micro Newton level［J］.Metrologia，2012，49（1）：70.

［11］Muntwyler S，Beyeler F，Nelson B J.Three-axis micro force sensor with tunable force range and sub micro newton measurement uncertainty［C］∥Robotics and Automation（ICRA），2010 IEEE International Conference on IEEE，2010：3165-3170.

［12］Johnson W A，Warne L K.Electrophysics of micromechanical comb actuators［J］.Microelectro-mechanical Systems，Journal，1995，4（1）：49-59.

Numerical simulation analysis on mechanical characteristics of finger structure m icro-force devices

XU Li1，2，ZHENG Peiliang1，2，LI Qian2，HUANG Zhenyu1，2
（1.Guangdong Provincial Key Laboratory of Modern Geometric and Mechanical Metrology Technology，Guangzhou 510405，China；2.Guangdong Provincial Institute of Metrology，Guangzhou 510405，China）

The problem existing in micro-force device is that the measurement errors in capacity plate distance have great impacts on the output of micro-force.A new finger structure micro-force device，which can significantly reduce the measurement uncertainty in micro-force output，has been designed through theoretical analysis and numerical simulation.The mechanical characteristics of the finger structure under different conditions，such as overlapping length，loading voltage，spacing，and thickness have been studied in this paper.The results show that the overlapping length almost has no influence on the output of micro-force，and the parameters of the finger structure meet a certain relationship.The micro-force output is proportional to the square of loading voltage and the thickness of the finger structure.The micro-force output decreases rapidly when the finger structure increases in spacing.It has a practical in simplifying plate distance measurement and position control mechanism，and in designing micro-force source devices.

finger structure capacitor；mechanical characteristics；numerical simulation；micro-force

A

1674-5124（2015）09-0115-05

2015-03-20；

2015-05-10

国家质检总局科技计划项目（2013QK259）；广东省公益研究与能力建设专项资金项目（2014A040401044）

徐立（1983-），男，湖南长沙市人，工程师，博士，主要从事力学计量与测试研究工作。