高中数学数列教学的数学思想分析

江苏省郑集高级中学 孟军军

数列作为对客观规律描述的基本数学模型和特殊函数类型，其在实际生活中的运用较为广泛。由于作为重要数学模型的数列能够对社会实际问题进行反映，例如等差、等比数列在银行储蓄以及分期付款中的广泛运用，因此高中数学教师需要重视高中生的数列教学。数列教学不仅符合时代要求而且符合学生综合发展的需要，由此，本文以苏教版教材为例，就数列教学的重要性进行分析，并就如何切实提高高中数学数列教学的教学效率进行分析。

一、高中数学数列教学的重要性

数列知识属于高中数学教学中一项重要内容，由于其自身蕴涵的数学逻辑思维以及方法较为丰富，如产品规格的设计、房屋贷款和工资选择等，因此，可以作为一种高中阶段学生需掌握的重要数学模型。对高中学生来说，数列知识的学习不仅能在一定程度上对其逻辑推理能力进行培养，还能在一定程度上提高其运算能力，由此可见，高中数学教师重视学生数列教学具有重要作用。在高中数学数列教学的过程中，教师需要不断创新和探究教学方法以实现强化掌握数列知识的目的。此外，数学教师对数列教学的高度重视可对学生数学学习形成一定的紧迫感，可引起学生对数列知识足够重视并激发其学习数列知识的兴趣。

二、数学数列教学中数学思想的应用

1.函数思想的应用。

多数学生对部分数列问题难以直接下手，考虑其原因在于学生对多个细节的过分重视而忽视整体考虑，即多数学生无法灵活运用数列公式。就函数定义而言，数列属于一种较为特殊的函数，因此充分运用函数思想对数列问题进行探究是数列问题解决的本质。函数要求学生具备整体思想，其主要表现为从整体角度出发对问题进行分析，尤其在题意不明以及难以直接找寻解题方法的题目中表现显著。分析等差数列求和公式Sn＝na1＋n（n－1）d/2＝An2＋Bn，发现该公式与二次函数的形式较为契合，可以利用二次函数的思想进行探究。

例如：某一个等差数列中，Sn＝m 是前n 项和，Sm＝n 是前m 项和（m 不等于n），以此为基础条件，求前Sm＋n。分析该题可知，Sm＋n＝(m＋n)×a1＋(m＋n)(m＋n－1)d/2＝[a1＋（m＋n－1）d/2]（m＋n），发现求解Sm＋n需要求出a1＋(m＋n－1)d/2的值。利用函数思想和整体思想并结合等差数列求和知识、图像经过点（0，0）进行解题，考 虑Sm＝（m－1）md/2＋ma1＝n 以 及Sn＝（n－1）nd/2＋na1＝m，两式相减，可得Sm－Sn=（m-n）a1＋（m＋n－1（)m+n）d/2＝－1，得到数列前Sm＋n＝-m-n。

2.递推思想的应用。

数学中常用的一种思想方法是递推思想，此类思想多用于解答复杂的通项问题，递推思想中常用的两种方法是累加法和累积法。其中将数列中的各项进行累计求和以寻求问题的突破口为累加法，累加法能在一定程度上简化解题步骤。如果所求数列中的通项满足f（n）=an－an－1，而（fn）可以进行裂项，该通项式可以采取累加法进行求和。例如：数列｛an｝的首项a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋1/n（n＋1），求该数列通项公式。本题中，若n≥2，则an＝1/n（n＋1）＋an－1，求出an－an－1＝－1/（n＋1）+1/n，采取累加法思想进行求解。可得an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝3/2－1/(n＋1）。累积法的思想类似于累加法，若g（n）＝an/an－1存在一定关系时，可以采用an＝an/an－1×an－1/an－2×…×a2/a1×a1d 这一公式求解an。

3.方程思想的应用。

数学解题思想中的另一种常用方法是方程思想，其主要是采用方程组形式对未知量进行求解，数列中的常用量为n，a1，an，d（q）以及Sn，实际求解时可采用当中三个已知量与方程进行结合，对其他的两个未知量进行求解。例如：等差数列｛an｝中的公差是一个正数，其中a3与a7的乘积为－12，和为-4，而a4和a6的和等于a3与a7的和，求该数列前n 项和。根据题意可知，a3×a7＝－12，a3＋a7＝a4＋a6＝－4，结合方程思想可知，a3与a7是方程x2＋4x－12＝0中的两个解，由于公差d＞0，可得a7＝2，a3＝－6。将上述两个答案代入关系式，可得a1＋2d＝－6和a1＋6d＝2这个方程组，求解方程组可知a1＝－10，d＝2；随后将上述结果代入到等差数列求和公式中，可得Sn＝n（n－1）-10n。

新课程背景下教师需将教学理念以及教学设计意图落实到教学中，以真实课堂为中心展开教材研究、培训。新课改对教学素质教育的高要求影响着数学教学，数列知识教学在数学教学中占据基础性地位，因此，教师需要采取有效教学模式对授课方式予以研究和创新，在激发学生学习兴趣的同时提高课堂教学效率。此外，教师通多指导学生将所学知识在实际生活中进行实践，可在一定程度上达到巩固课堂所学知识的目的。

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