通过对话“为什么”来阐明知识点后的知识——以三角函数的教学为例

赵斌斌

（浙江省宁波市高教园区宁波经贸学校）

通过对话“为什么”来阐明知识点后的知识
——以三角函数的教学为例

赵斌斌

（浙江省宁波市高教园区宁波经贸学校）

针对目前课堂上强行灌输知识点这一现象，以三角函数这一章的教学为例，通过拷问自己“为什么”来引发思考，最终以回复提问的形式阐明教师真正要教给学生的知识，如,穷则变、需载体、寻规律等，而非简单的知识点。

为什么；知识点；三角函数

一、引言

在最近一次“5.5诱导公式”的听课活动中，授课教师布置了如下的三个任务：

任务一：回顾各象限角的三角函数值的正负号；

任务二：假设角a是锐角，试判断下列角a+k·360°，-a，180°+a和180°-a所在的象限；

任务三：将书上的四组诱导公式按任务二得出的象限填入指定的平面直角坐标系内，你会发现什么？

接着，在授课老师的帮助下，很快就出来了十字口诀“函数名不变，符号看象限”。新授总共历时15分钟，该教学内容共计四组十二个诱导公式就已全部介绍完毕！

数学应该是让人变得更加聪明的，可反观这样的课堂，我好生担忧。

这之后，我的思绪起了涟漪，再也无法静下心来继续听下去，而我的心则一直在拷问自己：多年以后，当授课老师所教的知识褪去，学生还会剩下什么？

由此我想到的是，在日常的教育教学工作中，在有限的45分钟里，我们在教给学生教学内容中知识点的同时，更多的应该是渗透一种有用的知识，真正让学生感悟到数学的智慧之美！

下面就以高等教育出版社出版的数学（基础模块）上册第5章的三角函数为例，通过对话“为什么”，来谈谈知识点后的知识，不当之处，敬请批评指正。

二、知识点后的知识

本章教材共分7节：

第1节 角的概念的推广

本节涉及的主要知识点有：任意角的概念、象限角和界限角、终边相同的角。

提问1：为什么要将初中角的概念推广？

提问2：为什么要在平面直角坐标系中研究角？

提问3：为什么要学终边相同的角？

对话：

回复提问1：教材实例1中的摩天轮告诉我们，生活中角的度数早已超出了0°~360°的范围；实例2中的活络扳手则告诉我们，生活中的角还出现了方向性的问题（即逆时针和顺时针）。为解决上述两个问题，所以，对初中角的概念进行推广。我想说的是，社会发展日新月异，不仅我们要紧跟时代的需要，连同我们所掌握的知识也要紧跟发展，而当我们所掌握的知识无法反映或解决生产、生活中的一些实际问题时，则必须要创新！因此，这个知识点后的知识是：穷则变！

回复提问2：教材中简单的一句话“为了研究方便”就将这一提问掩盖过去了，但事实并没有解决。其实，我们本章的三角学是代数和几何的交汇，而坐标法则是建立这两者之间关系的桥梁，比如，后来的同角三角函数的基本关系式中的平方关系，就是利用坐标法和勾股定理共同得到的；再如，诱导公式、两角和与差的余弦公式的推导等。我想说的是，任何一个事情的研究都需要一个相对适合，同时方便我们研究的平台，比如电商需要互联网，互联网则需要计算机。因此，这个知识点后的知识是：需载体！

回复提问3：教材中的实验让学生发现木条会重复地在OB位置出现，重复出现的现象则说明该事物可能具有周期性，这也就是三角函数是周期函数模型的原因，因此，与角a终边相同的角（包括角a在内）都可以写成“a+k·360°（k∈Z）”的形式，其实质是“初始角+整数×周期”，弄明白这一点，对于帮助学生理解教材中的例2有一定的作用。我想说的是，我们所处世界的很多事物都具有规律性，甚至是周期性，找到规律，对于我们缩短研究这些事物的进程很有帮助。因此，这个知识点后的知识是：寻规律！

第2节 弧度制

本节涉及的主要知识点有：弧度制的概念、角度与弧度之间的转换、弧长公式。

提问1：为什么有了角度制还要弧度制？

提问2：为什么要学弧长公式？

对话：

回复提问1：教材问题中“因为度、分、秒采用的是60进位制，所以，在角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位转换上的麻烦，的确，这是原因之一，但绝不是主要原因，采用弧度制以后，每一个角都会对应唯一的一个实数，这在高等数学学习微分、积分以及泰勒公式时，一定程度上减少了较大的运算量。当然，我个人还认为，当角a的度量值是一个实数时，为三角函数图象顺利地画入平面直角坐标系铺平了道路。我想说的是，当一些事物开始在某些熟悉的领域大放异彩时，比如，二十世纪末的汽车、手机和计算机等，我们一定得改变自己并最终接纳它们。因此，这个知识点后的知识是：目长远！

回复提问2：弧长公式的出现很好地解释了汽车公里数的计算。比如，要估算1小时自行车（半径已测得）可以前进多少米，并不真的需要坐上去骑1小时然后测量，我们只需估算自行车1分钟内转的圈数即可。我想说的是，世界上两个量之间存在着某种关系，选择一个比较容易控制或监测的量，就可以计算出另一个量的变化。因此，这个知识点后的知识是：易入手！

第3节 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数

本节涉及的主要知识点有：任意角三角函数的定义、各象限角的三角函数值符号、界限角的三角函数值。

提问：为什么要学任意角的三角函数？

对话：

回复提问：初中所学的是锐角的三角函数，自角被推广到任意角后，任意角的三角函数存在吗？如果存在，是否也应及时跟上，只是完善的时候不应和原有的锐角三角函数相悖。我想说的是，新事物的出现，与其相生相克的事物也必须尽快跟上。比如，互联网的出现，滋生了电商，但同时也应跟上互联网的管理条例，使其健康茁壮成长。因此，这个知识点的后知识是：应同步！

第4节 同角三角函数的基本关系

本节涉及的主要知识点有：同角三角函数的基本关系式。

提问1：为什么要引入单位圆？

提问2：为什么要学同角三角函数的基本关系？

对话：

回复提问1：单位圆的引入纯粹就是为了简化运算，使运算式子变得简洁而美丽，在此后诱导公式的推导中显得尤为突出，当然还有两角和与差的余弦公式的推导。但作为教师，我们得让学生更加明了，我们引入单位圆简化运算的实质就是单位“1”的运用，这在很多地方都用得到。反观生活，我想说的是，比如家里玻璃碎了，一时半会儿又找不到尺子，如何测量、购买？这个时候，伸出手，丈量一下需要几只手即可，这种方法就是手这个单位“1”的大胆使用。因此，这个知识点后的知识是：单位“1”！

回复提问2：理解并掌握了同角三角函数之间的平方关系和商数关系，就可以只知其中一个三角函数值，求出另外两个，这就是我们常说的知一求二，此与后来数列中的知三求二、解三角形中的知三求三属同一款式。我想说的是，在明确几个量之间的关系后，我们可以携带最少的信息量，而通过关系式来求得其他的量。因此，这个知识点后的知识是：轻上阵！

第5节 诱导公式

本节涉及的主要知识点有：诱导公式、计算器的使用。

提问1：为什么要学诱导公式？

提问2：为什么要学利用计算器求任意角的三角函数值？

对话：

回复提问1：教材其实已作出明确说明，新知识中公式（5.8），可以把任意角的三角函数转化为0°~360°（即0°~90°，90°~180°，180°~270°，270°~360°）范围内角的三角函数；270°~360°范围内的角可以转化为负角，再利用公式（5.9），就可以把负角的三角函数转化为正角的三角函数；90°~180°和180°~270°范围内的角，分别利用（5.10），（5.11），可以把此范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数。我想说的是，任何繁杂事物的研究与学习，最终都应回归到我们所熟悉的简单领域，而只有在我们所熟悉的简单领域，才可以把事情办好、办精。因此，这个知识点后的知识是：繁化简！另外，我想补充的是，既然学习了弧度制，为何弧度制后面的教学内容反复地出现角度制，如a+k·360，180±a等，这样的做法似乎不太妥当。

回复提问2：很多老师怕学生使用计算器后，干脆不记特殊角的三角函数值了，可是，我们所处这个世界里的角很少是以特殊角的形式存在的，因此，解决问题绝不可能是记几个特殊角的三角函数值就可以搞定的，而且查三角函数值表的年代也已经一去不复返了，那么，这个时候，我们就必须掌握如何使用好我们手头的计算器来更好地为我们服务。我想说的是，如果工具可以帮我们快速地解决问题，为什么不使用呢？比如，我们现在仍在使用的算盘。因此，这个知识点后的知识是：用工具！

第6节 三角函数的图像和性质

本节涉及的主要知识点有：正弦函数的图像和性质、余弦函数的图像和性质。

提问1：为什么要画三角函数的图像？

对话：

回复提问1：讲到数形结合，很多人会记起那句“形缺数时难入微，数缺形时难直观”，的确，画出函数图像对于帮助研究和理解函数的性质有很好的作用，这一点不仅老师要明白，学生也要知道。我想说的是，在每一次画函数图像的新授课中，老师应该带着学生一同作图，熟悉作图的每一个步骤，最终精确制图。因此，这个知识点后的知识是：图真相！

回复提问2：教材新知识中“观察发现，正弦函数y=sin x在［0，2π］最值点），（π，0）是零点，假如这样称呼，它们算得上关键点了吗？我想说的是，任何事物的发展可能都会伴随着这样一些点的出现，而只要我们能把握住这些事物的关键点，事物就不会往最糟糕的方向发展。因此，这个知识点后的知识是：重关键！

第7节 已知三角函数值求角

本节涉及的主要知识点有：已知三角函数值，利用计算器求角。

提问1：为什么要学已知三角函数值求角？

提问2：为什么要结合诱导公式来求角？

对话：

回复提问1：有已知角求三角函数值，就会有已知三角函数值求角，和加减、乘除一样，这一对互为逆运算。我想说的是，在某种特定条件下，假如有一天我们又定义了一种新的运算，必将伴随着它的逆运算同时出现，这是肯定的。因此，这个知识点后的知识是：逆必存！

回复提问2：一个角对应一个三角函数值，这是函数；而一个三角函数值，却有无数个角与之相对应，这不是函数（这一点结合函数图象来说明，学生就会明白）。为了让求角成为函数，并方便计算器计算后输出，人类给它设定了输出角的范围，即-90°~90°，因此，如果求指定范围（这里指超出-90°~90°）内的角，那么，就必须要结合使用诱导公式。我想说的是，目前计算机能计算并输出的都是有限的结果，而对于无限的结果尚无法完全做到，所以，任何时候，别忽视了自己的作用。因此，这个知识点后的知识是：善自己！

为了应试，数学课堂更多的时候只是在传授知识点，而并非真的知识，也难怪学生毕业后一直嚷嚷着数学最没有用了，而在授课中应该教给学生的思维方式、数学思想等，却又往往最容易被忽视掉。今天，国家已经走在教育改革的路上了，而作为教育教学工作者的我们，也是时候静下心来搞教学，多问自己一句为什么，多教给学生一些知识，而非空洞的知识点，做到真正的授人以渔而非鱼。

如果我们持之以恒，若干年后，哪怕已毕业的学生忘记了所有的知识点，我相信，我们所传授的知识，不会在学生的身上全部褪去，或许这就是太极中所说的：无招胜有招！而这些知识，也将是人类进步的驱动力，希望那时候的学生会和伽利略说的一样，自然界最伟大的书是由数学语言写成的。

三、结束语

如果此刻的你也认同，期待你的参与，以知识点为载体来渗透，传授我们的知识。

［1］李广全.数学教学参考书:基础模块.上册版（修订版）.北京：高等教育出版社，2013.

［2］李忠.为什么要使用弧度制［J］.数学通报，2009（11）.

［3］甘志国.数学解题与研究丛书：教材教法［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2014.

·编辑 鲁翠红