高中数学教学中数形结合方法的原则和策略

◆王丽杰

(吉林省四平市梨树实验中学)

一、研究意义

按照新课标的要求，数学教学应该“让学生了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用”。在高中数学课堂上合理地应用数形结合方法，可以使学生充分地了解知识的本质，有助于学生把学到的知识联系融会贯通。通过学生在学习过程中的感受、体验和思考，来加强学生的思维能力，提高学生的解题能力。通过高中课堂中数形结合方法的广泛应用，有利于培养学生的创新意识和创造能力。

二、相关理论概述

1.数形结合

数学的两大重要研究对象是现实世界的数量关系和空间形式。数和形不可分割，数量关系往往抽象难懂，但再难理解的抽象关系也有其直观的几何意义，而直观的图形的本质也可以用数量关系的语言准确的描述。在数学中，研究数量关系的研究，需要借助于直观图形;研究图形的性质，需要借助数量关系为理论基础。

数形结合是高中数学学习上最重要的解决问题的方法，数形结合根据数学问题的条件和结论之间的关系，解析出问题的代数含义的同时，又揭示了直观层面上的集合几何含义。数形结合方法在解题中作用非凡，它能给我们一个全新的思路去解决问题，如果在数的层面无法突破问题，就可以转到直观图形上来思考，反之依然，这样就能从全新的角度来培养学生思维的灵活性，简化解题过程的能力。

2.中学生数形结合思想的形成过程

按照中学生对新事物的认知规律，数形结合思想的形成过程分为四个阶段，即感受、理解、运用、内化。感受是指对某一事实发生的感觉，以数学课堂为载体，以教师的指导为侧重点，意识主要集中在解决问题的思路上，主要是记忆方法。理解是初步的建立了数形结合思想，是建立在感受基础上的一个层面。运用是指在实际的解题过程中运用数形结合方法，形成自己的观点，并且充分地认识到数形结合方法的实用特点和在什么问题上可以使用这一方法。内化是指将数形结合方法在自己的思想意识里转变成为一种成熟的数学思想，成为在脑中的一个独一无二的特有思想。

三、数形结合方法在教学中应用的原则

1.等价性

等价性原则是指形的直观几何意义应该与“数”的抽象代数意义是可以相互转化的等价量，即问题的几何表示与代数数量关系应具有一致性。用图形解题有着重大的局限，不同的人对题目的理解不尽相同，所以所构造的图形就会受到自己理解的影响而出现和实际问题之间的误差。因此不可避免的会出现解题失误。如果加以代数思想来精确的构造图形，就可以避免这种情况的出现。

2.双向性

双向性原则是指数形集合的方法既对问题的代数性质做研究，又对直观几何图形进行分析，代数运算可以让数在图的基础上形成有信服度的结果，且这个结果比单纯几何构图更具有优越性，相反，几何图形的表示形式更直观，这就充分地体现了数形集合方法的和谐之处。

3.简洁性

简洁性原则是指数转换为图形的同时，一定要使所构造的图形简单且充分符合题意，这样既能通过简单明了的图形直观地分析出问题主旨，又因为所构图形的简单，可以充分避免繁琐的运算过程，大大缩短解题时间，同时也可使复杂的问题变的简单化。符合数学解题简洁美的根本要求，也体现了数学解决实际问题的艺术性与创新性。

四、数形结合方法在教学中应用的策略

1.针对等价性的策略

教师在课堂讲授时一定要着重强调数形结合方法中“数”与“形”的转换是必须等价的。要知道学生在遇到问题的时候，先考虑这个问题是用代数方法简单还是用几何方法简单，然后才可以开始数与形的等价转换过程。例如，画在平面直角坐标系下一个图象，图象上的每一个点，都对应着相应的一个函数的任意一个结果，即函数图象的表示与数量关系要一致。而由图象确定数量关系的问题中，要找到函数图象中的一些具有代表性的点，将它们通过等价转换，然后列出等价的函数关系式，从而快速解出问题。

2.针对双向性的策略

教师可以在课堂讲解中以同一个题目为例，从两个不同的层面分别展示数与形的解题方法，然后再阐述这两种方法的等价性。这样学生也会逐渐培养用数形结合解题的习惯。教师在带领学生研究时应对代数的抽象特点与几何图形直观特点分别进行学习，让学生明白它们在解题时的优缺点。若所做的题计算比较简便，画图比较麻烦时，我们就择优选取代数计算的方法，可以缩短做题时间，而且也可以得出更准确的结果。反之依然。活用数形结合方法，可以达到优势互补。但是熟练掌握并非一朝一夕，这需要一个长期积累的过程。

3.针对简洁性的策略

在解决数学问题时，我们一定要力求解决问题的简洁明快，考试中有着多种题型，所以针对题型的不同，所用的方法也就大为不同。做填空选择题时，我们完全没有必要画出准确的图像，如有需要，画一个简单图像大致表示出代数关系就可以了。做解答题时就要精确的画出图形，并且要明确画图的步骤，这样可以为作图缩短时间，也可以保证所画图形的准确性。教师在上课时也要构造简洁明了的图形，让学生养成良好的解题习惯。

五、结语

通过数形结合方法引导学生思维方式的由静态到动态的变化，就是以运动、变化的观点考虑问题。通过本文的讲述我们知道数形结合方法，可以增强解决问题的灵活性。在课堂教学中应用数形结合方法，可以提高学生分析问题、解决问题的能力，成为今后解决问题能力形成的关键要素。所以，数形结合方法在高中数学教学中有着重要的地位。它是数学思想方法的核心。

［1］教育部.普通高中数学课程标准(实验)［M］.北京:人民教育出版社，2003.

［2］［日］米山国藏.数学的精神、思想和方法［M］.毛正中，吴素华，译.成都:四川教育出版社，1986.

［3］王元，陈德泉，计雷等.华罗庚科普著作选集［M］.上海:上海教育出版社，1984.

［4］徐斌艳.数学课程与教学论［M］.杭州:浙江教育出版社，2003.