习题课上迸发的思维火花

李莹莹

摘 要：在一次排列组合的习题课教学中，我把思考题略加改变，加以探究引导，由于采用了小组合作的学习形式，调动了学生参与学习的积极性，拓展了学生思维，不仅完成了教学任务，还得到了意外的收获，发现了求排列组合与概率相结合的方法，非常高兴，也很难忘，并由此引发一些反思.

关键词：排列组合；探究；习题课

一、课堂片段

这是一节习题课，内容是北师大版选修2-3的内容，本节课是关于排列组合分组分配问题的习题课.上课的前半段，复习排列组合的定义、区别与联系，然后是练习巩固.还有十多分钟时引入了一道思考题，原本只是想让学生复习巩固本节的内容，但是学生却用不同的方法给出了答案，不仅巩固了基础知识，而且还锻炼了学生的思维能力，也有创新能力和实践精神的培养.更重要的是学生给出了一种解决这类问题的新思路.

题：将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能保送到北大，则不同的保送方案共有多少种？

为了降低该题的难度我将其分解成三个小问题：

1.问题一：将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分成三组，每组至少一人，有多少种不同的分法？

2.问题二：将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，则不同的保送方案共有多少种？

3.问题三：将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲必须保送到北大，则不同的保送方案共有多少种？

师：问题一中是等分组还是部分等分组问题？

生：部分等分组问题，有两种（1，1，3）和（1，2，2）.

师：部分等分组易错点在哪里？

生：忘记除序.

师：如何抽取呢？

生：

师：问题一与问题二有何不同呢？

生：先分组再分配，将分好的三组再分配给三个不同的学校.

师：如何列式呢？

生：A33

师：问题三中的特殊元素是谁？

生：甲，要优先考虑.

师：甲必须保送到北大，分几类？

生：甲1人去北大，含甲2人去北大，含甲3人去北大.

师：甲1人去北大，剩余4人有几种分法？

生：剩余4人可以（1，3）（2，2）分组.

师：含甲2人去北大呢？三人呢？请列式表达.

生：安静地思考并推导.

师：做好的小组内交流一下，举手，哪一组愿意到黑板来演示？

生：由小组推荐代表到黑板板演.

解：甲一人去北大：C14C33A22+A22

含：甲两人去北大C14C13C22A22

含：甲三人去北大C24A22

师：做得很好，现在我们来解决思考题，换个角度来思考，提示一下，正难则反.

生：教室很安静，大家都在积极思考，有同学已经找到了解决的方法，面露喜色.

师：题目要求甲不能保送到北大，则它的反面是甲必须去

北大.

教室里开始有学生互报答案，组内互动开始了，有些学生已经开始整理思路，跃跃欲试了.

有学生迫不及待地表达，题目的反面就是甲必须去北大，也就是问题三，问题二求出了所有的分法，减去甲去北大的所有分法，就求出结果了，结果为100.

师：刚刚我们从反面来思考，能否换个角度，从正面分析行吗？

生：甲不去北大，则甲去交大或去浙大.

师：甲去交大，分几类？

生：甲一人去交大，含甲两人去交大，含甲三人去交大.

师：甲去浙大呢？

生：这个问题和甲去北大是相似的，结果为100.

师：我们有两种解题思路，一个是从正面分析，一个是从反面考虑.下面整理一下你的思路，你认为哪一种更易于接受并做好

记录.

生：学生开始整理笔记，进行有效的推理与演算.

二、课后反思

激动、兴奋与表扬：前苏联一位哲学家说过：“当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。”学生的学习也是如此.我面对学生在合作探究中意外的生成，除了及时给予表扬与鼓励，也非常高兴.为这样的教学结果而高兴，因为课前就没有奢望学生会有这样巧妙的思路.用概率解决分组问题，很巧妙，更重要的是突破了原有的思维模式，是学生创新思维的一种体现.