“测电源电动势和内阻”实验误差的数学分析

彭国良

（荆门市屈家岭管理区五三高中 湖北 荆门 431821）

数学作为一种工具，普遍应用于各种学科之中.数形结合这种数学思想方法用在高中物理电学实验误差分析中，可以减少大量的运算过程，使问题简单直观，易懂，好理解.

“测电源电动势和内电阻”实验是高中物理电学实验中的一个重要实验，也是高考考试说明中要求较高的一个实验.《物理·选修3－1》教材中提供了3种测量方法：第1种是采用伏安法进行测量；第2种采用U，R 测量；第3种是采用I，R 测量.以下用数学中数形结合的思想方法分析这3种测量方法的误差情况.

1 伏安法测电源的电动势和内电阻

伏安法测电源的电动势和内电阻实验中有两种实物接法，教材中没有选择图1所示的电路进行测量，而选择了图2所示的电路进行测量，这是为什么呢？

图1

图2

利用图1测量：设电流表的内阻RA，电压表的读数为U，电流表的读数为I，利用闭合回路的欧姆定律得

然后根据数学函数关系，描绘出U－I 数学函数图像，如图3所示

在实际操作中测量多组电压表和电流表的值，描绘出U－I 图线，用纵截距代表所测电源的电动势，斜率值的大小代表所测电源的内阻值.

从数形结合来看，纵截距能代表所测电源的电动势，但斜率值的大小是（RA＋r），由此可知此实验中电源内阻的测量有误差，主要是由电流表的内阻不能忽略而引起的.

如果用此方法测量电源的电动势和内阻，只需尽可能地减小电流表的内阻值，这样实验中的误差才尽可能的小，所以在实验中应尽可能选择小内阻的电流表进行实验.

理论分析：本实验中电源电动势的测量值是准确的，但内阻的测量值是（RA＋r），所以测得内阻值偏大.

利用图2测量：设电压表的内阻RV，电压表的读数为U，电流表的读数为I，利用闭合回路的欧姆定律得

式（2）可化为

根据数学函数关系，描绘出U－I 的函数图像，如图4.

图4

在实际操作中，多测几组电压表和电流表的值，描绘出U－I 图像，用纵截距代表电源的电动势，用斜率值大小代表电源的内阻值.

理论分析：本实验中电源电动势的测量值是偏小的，电源内阻值的测量也是偏小的.

通过以上数形结合分析可知，无论是利用图1还是图2测量电源电动势和内阻值，理论分析都会有误差，第1种是电流表的内阻不能忽略而产生的误差，第2种是电压表的内阻不是无穷大而产生的误差.但是就实际情况而言，电源的内阻一般不会很大，与电流表的内阻比较接近，电压表的内阻值远大于电源的内阻值.所以选择第2种测量方法的误差比第一种测量方法的误差要小得多，所以教材中选择了第2种测量方法.

2 采用U 和R 测量电源的电动势和内电阻

《物理·选修3－1》中还提供了U，R 测量电源电动势和内阻的思路（如图5），其中R 为变阻箱.

如图5，设电压表的内阻值为RV，电源的电动势为E ，电源的内阻值为r，变阻箱的阻值为R ，由闭

合回路的欧姆定律得

式（4）可化为

图5

图6

理论分析：电源电动势的测量值偏小，内阻测量值也偏小.

3 采用I和R 测量电源的电动势和内电阻

《物理·选修3－1》中也提供了I，R 测量电源电动势和内阻的思路，如图7所示，图中的R 为电阻箱.

图7

设电源的电动势为E，内阻值r，电阻箱的阻值为R，电流表的内阻值为RA，由闭合回路的欧姆定律得

式（6）可化为

图8

通过此方法则得电源电动势的值是准确的，但是内阻值偏大，原因是电流表的内阻不能忽略，为了尽可能地减小误差，只能让电源的内阻值远大于电流表的内阻值，所以实验中只能尽可能选内阻较小的电流表.

理论分析：电源电动势的测量值是准确的，内电阻值测得偏大.

1 张大昌.普通高中课程实验教科书物理·选修3－1.北京：人民教育出版社，2010.70