排列组合中插空模型的最佳解决方略

在解决实际问题时，我们常常需要构建诸如函数模型、数列模型等数学模型，在解决排列组合的应用问题时，我们也要将一些具体问题数学化、一般化、规律化，即建立一个模型来求解某一类问题.搞清楚问题的实质，有利于培养我们的抽象能力、概括能力、数学建构的能力.本文通过例题来辨析插空模型的各种不同解决方法.

■一、不同元素互不相邻——排列问题中的插空

■例1 有4名学生和3名老师排成一排：

（1）（直接插空）？摇3名老师两两不相邻，有多少种不同的排法？

解：第一步，先将4名学生进行全排列，共A■■种不同的排法，第二步，排老师，因老师不相邻，所以插空安排共A■■种不同方法，故排法总数为A■■A■■=1440.

（2）（相间插空法）师生相间排列，有多少种不同的排法？

分析：由题意知，学生两两不相邻、老师也是两两不相邻，故比第（1）题多了一个限制条件，此时两类元素都插空，故只能在连续的几个空位处插空.

解法1：先排3名老师，有A■■种方法，再在4个空位处排4名学生，有A■■种不同排法，故排法总数为A■■A■■=144.

解法2：先排4名学生，后排3名老师，有A■■A■■=144种方法.

变式：若4名学生中的甲、乙、丙和3名老师排成一排，且师生相间，有多少种不同的排法？

解：先排3名老师，有A■■种方法，再在4个空位中的前3个或者后3个中排甲、乙、丙3名学生，故排法总数为A■■（A■■+A■■）=72.

（3）（顺序一定条件下插空） 4名学生甲、乙、丙、丁顺序已定（不一定相邻），有多少种不同的排法？

解法1：（分类）第一类：三个老师两两不相邻，插空，有A■■种不同方法；第二类：三个老师有两个相邻，有C■■A■■A■■种不同方法；第三类：三个老师在一起，有A■■A■■种不同方法. 综上，共A■■+C■■A■■A■■+A■■A■■=210种不同方法.

解法2：（依次插空）共有A■■A■■A■■=210种不同方法.

变式：7人站成两排，前4后3，现从前排抽1人到后排，其他人相对顺序不变，有多少种不同的排法？

解：（先选后排），第一步，从前排选1人，有C■■种不同方法，第二步，在后排4个空位处插入此人，有A■■种不同方法，故据乘法原理，共C■■A■■=16种不同排法.

其他条件下的插空

（4）甲、乙相邻，丙、丁不相邻，有多少种不同的排法？

解：第一步，将甲、乙捆绑，有A■■种不同方法；第二步，将甲、乙看做一个元素，和3名老师全排列，有A■■种不同的方法；第三步，将丙、丁插空，有A■■种不同方法. 故排法总数为A■■A■■A■■=960.

■二、相同元素互不相邻——组合问题中的插空

相同的元素插空时，只选位置，不用排列！（也可理解为选出位置，就已经排好了）

■例2 马路上有7盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以熄掉其中的3盏路灯，但不能同时熄掉相邻的2盏或3盏，则满足条件的熄灯方法有多少种？

解：4盏亮着的路灯产生的5个空位中插入3盏熄掉的路灯，故有C■■=10种不同方法.

变式1：某人射击7枪命中3枪，命中的3枪没有任何2枪是相邻的，若按“命中”和“不命中”报告结果，则不同的结果有多少种？

解：同例2，4枪不命中产生的5个空位中插入3枪命中的，有C■■=10种不同方法.

变式2：某人射击7枪命中3枪，恰有2枪是连续命中的，若按“命中”和“不命中”报告结果，则不同的结果有多少种？

解：连续命中的2枪看做一个整体（元素），4枪不命中产生的5个空位中插入2个“不同”的元素，有A■■=20种不同方法.

变式3：甲、乙坐在一排7个座位上，恰有4个连续空位，有多少种不同的排法？

解：（座位插空）4个连续的空位看做一个整体（元素），甲、乙排好后的3个空位中插入2个“不同”元素，有A■■A■■=12种不同的排法.

变式4：甲、乙坐在一排7个座位上，使每个人左右都有空位，有多少种不同的排法？

解：（人插空）5个空座位产生的中间4个空位中插入2个人，有A■■=12种不同的排法.

变式5：有7盏路灯，现在用红、黄、蓝3种颜色对路灯进行装饰，每种颜色至少2盏灯，且相同颜色的灯两两不相邻，有多少种不同的涂色方法？

解：三种灯分2、2、3选择颜色，有3种方法，不妨设“红红、黄黄、蓝蓝蓝”. 第一类：先排“红红黄黄”4盏灯，4盏灯两两相邻有2种方法，再排3盏蓝色的有C■■=3种插法，共有2×3=6种方法. 第二类：“红黄红黄”4盏灯两两不相邻有2种方法，3盏蓝色灯插空，有C■■种方法，共有种2C■■=20方法. 第三类：“红黄黄红”4盏灯中有一种颜色的灯相邻有2种方法，3盏蓝色灯插空有C■■=6种插法，共有2C■■=12种. 综上“红红，黄黄，蓝蓝蓝”时有38种方法，故一共有3×38=114种不同涂色方法.

此类问题情境的设置越来越符合生活实际，能否将实际问题正确转化为排列、组合问题，是解题的关键.插空模型是解决其中一类问题的一个模型，从以上例题及变式，不难看出，应用插空模型的关键是识别出插空模型，具体是指：元素不相邻或部分元素不相邻的问题，可以采用插空模型解决. 而在具体插空时要特别注意的是“排列”还是“组合”，尤其组合对我们来说不易判断与区分.还有要注意与其他模型的综合应用，关键是决定一个策略，以解决一个问题（实验），这个问题的解决可能要用到分类讨论思想等. ■endprint