古典概型和几何概型

王盛

古典概型和几何概型都是特殊的随机事件概率模型，是高考常考的知识点.高考试卷中，古典概型和几何概型常以选择题、填空题的形式出现，有时也有解答题，属中、低档题目；理科绝大多数与排列组合、分布列、期望、方差、平面几何、函数、向量等一起综合考查.

重点难点

重点：明确古典概型的等可能性和有限性；明确几何概型的等可能性和无限性. 会灵活应用古典概型和几何概型的概率计算公式，特别是古典概型中，文科学生主要掌握借助表格、树形图用列举法求解概率；理科学生更应掌握用排列组合、独立重复事件、二项分布、对立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式等方法求概率.

？摇难点：要会区分问题是古典概型或几何概型；慎重对待基本事件的等可能性，注意要恰当地分类，并做到试验包含的基本事件不重不漏；选择合适的方法和测度解决概率问题，特别要分清问题是“放回”还是“不放回”，是“有序”还是“无序”.

方法突破

（1）对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类型的概率问题，再套用公式解决.

（2）对古典概型，要会用列举法，借助表格、树形图等写出所有基本事件和所求事件包含的基本事件. 求古典概型的一般方法和步骤如下：

①判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件.

②计算基本事件的个数n及事件A中所包含的基本事件的个数m.

③计算事件A的概率P（A）=■.

（3）对几何概型，要根据题意判断是直线型、面积型、体积型还是角度型.判断的关键是看它是不是等可能的，也就是点是不是均匀分布的.求解的关键是要注意古典概型与几何概型的区别（基本事件的有限性和无限性），构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.

（4）要注意古典概型、几何概型与其他知识的联系，根据问题的特点，联想相关知识，找到所求事件满足的条件.

典例精讲

一、几种几何概型的辨别

1. 长度型几何概型

■例1 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM

思索 记“AM

破解 P（A）=■=■=■=■.

2. 角度型几何概型

■例2 如图1，在等腰直角三角形ABC中， 过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线，与线段AB交于点M，求AM

■

图1

思索 这是与例题形式质异的几何概型问题. 记“AM

破解 在等腰直角三角形ABC中，∠CAC′=■. 又AC′=AC，所以得∠ACC′=■，即P（B）=■=■=■=■.

3. 面积型几何概型

■例3 如图2，在等腰直角三角形ABC中，C为直角顶点，在三角形内取点P，连结CP交AB于M，求AM

■

图2

思索 这是与例题形式质异的几何概型问题. 记“AM

破解 在等腰直角三角形ABC中，∠CAC′=45°. 令AC=1，则P（C）=■=■=■.

二、古典概型与几何概型的辨别

■例4 （1）在[0，10]中任取一个整数，求它与2的和小于5的概率；

（2）在[0，10]中任取一个数，求它与2的和小于5的概率；

（3）从[0，10]中随机取两个数，求这两数之和大于12的概率；

（4）在[0，10]中随机取三个数，求使得任意两数之和大于第三个数的概率.

思索 题（1）中基本事件的个数为11个，且是等可能的，故为古典概型；题（2）中基本事件的个数是无限的，其可看成在长度为10的线段上取点，故为几何概型；与题（2）不同，尽管题（3）中基本事件的个数是无限的，是在线段上随机取点，但两点间的距离值不是等可能的，故不能用线段的长度作为测度进行概率计算，而应该引进两个变量解决；由题（3）可知，题（4）应该引进三个变量解决.

破解 （1）记“在[0，10]中任取一个整数，与2的和小于5”为事件A，则P（A）=■.

（2）记“在[0，10]中任取一个数，与2的和小于5”为事件B，则P（B）=■.

（3）设x，y为[0，10]上的任意两个数，等价于在平面直角坐标系内，作出点（x，y），如图3，记“在[0，10]中随机取两个数，这两数之和大于12”为事件C，则事件C所包含的区域应满足0≤x≤10，0≤y≤10，x+y≥12，则P（C）=■=■.

（4）在[0，10]上随机取三个数，等价于在空间直角坐标系内，作出点（x，y，z），如图4，记“在[0，10]上随机取三个数，任意两数之和大于第三个数”为事件D，则事件D所包含的区域应满足x+y>z，y+z>x，x+z>y，则P（D）=■=■=■.

■

图3 图4

三、有放回抽样和无放回抽样的区别

■例5 现有一批产品共3件，其中2件是正品，1件次品.

（1）从中一次取出2件，求2件都是正品的概率；

（2）如果从中取出1件，然后放回，再任取1件，求两次取出的都是正品的概率.

思索 本例不仅有“有序”与“无序”的区别，还有”有放回”和“无放回”的区别. 在基本事件个数不是很多的情况下，都可以用列表或树形图的方式逐一列出.

破解 将2件正品分别记为正1、正2.

（1）一次取出2件产品，所有的基本事件为（正1，正2），（正1，次），（正2，次），共3个，且所有的基本事件都是等可能的，其中事件“2件都是正品”所包含的基本事件只有1个，故所求事件的概率为■.

（2）从中取出1件放回后再取1件，所有的基本事件为（正1，正1），（正1，正2），（正1，次），（正2，正1），（正2，正2），（正2，次），（次，正1），（次，正2），（次，次），共9个，且所有的基本事件都是等可能的，其中事件“两次取出的都是正品”所包含的基本事件共4个，故所求事件的概率为■.

■例6 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任意一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：

（1）没有人申请A片区房源的概率；

（2）每个片区的房源都有人申请的概率.

思索 利用古典概型的概率计算公式计算即可.

破解 （1）所有可能的申请方式共有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种，记“没有人申请A片区房源”为事件A，则P（A）=■=■.

（2）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有C■■A■■种，记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有P（B）=■=■.

变式练习

1. 已知A={a，b，c，d}，B={1，2，3，4}，A=B，则（a-1）（b-2）（c-3）（d-4）≠0的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

2. 设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

3. 如图5，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常）. 若在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无信号的概率是（ ）

■

图5

A. 1-■ B. ■-1

C. 2-■ D. ■

4. 已知函数f（x）=ax2-2bx+a（a，b∈R）.

（1）若a是从集合{0，1，2，3}中任取的一个元素，b是从集合{0，1，2，3}中任取的一个元素，求方程f（x）=0恰有两个不等实根的概率；

（2）若a是从区间[0，2]中任取的一个数，b是从区间[0，3]中任取的一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率.

5. 已知向量a=（2，1），b=（x，y）.

（1）若x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，2}，求向量a⊥b的概率；

（2）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区域Ω：-1

参考答案

1. B 2. D

3. A

4. （1）a是取自集合{0，1，2，3}中的任意一个元素，b是取自集合{0，1，2，3}中的任意一个元素，则a，b的取值情况是：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为16.设“方程f（x）=0恰有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时，方程f（x）=0恰有两个不相等的实数根的充要条件是a≠0，Δ>0？圳b>a且a≠0. 此时a，b的取值情况有：（1，2），（1，3），（2，3），即事件A包含的基本事件数为3. 所以方程f（x）=0恰有两个不相等的实数根的概率为P（A）=■.

（2）因为a是从区间[0，2]中任取的一个数，b是从区间[0，3]中任取的一个数，则试验的全部结果构成区域{（a，b）0≤a≤2，0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6. 设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为{（a，b）0≤a≤2，0≤b≤3，a>b}，其面积SM=■×2×2=2.由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实数根的概率为P（B）=■=■.

5. （1）从x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，

2}取两个数x，y的基本事件有：（-1，-2），（-1，-1），（-1，2），（0，-2），（0，-1），（0，2），（1，-2），（1，-1），（1，2），共9种. 设“向量a⊥b”为事件A，若向量a⊥b，则2x+y=0. 所以事件A包含的基本事件有：（-1，2），（1，-2），共2种. 所以所求事件的概率P（A）=■.？摇

（2）二元数组（x，y）构成区域Ω={（x，y）-1