蔡氏电路的混沌仿真研究

鲍林云,周尚波,虞继敏,赵　丽（重庆邮电大学自动化学院,重庆　400065）

蔡氏电路的混沌仿真研究

鲍林云,周尚波,虞继敏,赵丽
（重庆邮电大学自动化学院,重庆400065）

摘要：蔡氏电路是能产生混沌现象的典型且最简单三阶自治电路。该文通过对该非线性电路建立数学模型，解释了产生混沌现象的原因，由李雅普诺夫指数分析了系统的动力学行为，从理论分析和Mat lab仿真两个方面分别进行了研究。结果表明，在一定条件下蔡氏电路能够产生双涡旋混沌吸引子，混沌行为复杂，从而理论分析在仿真实验中得到了证实。

关键词：蔡氏电路；李雅普诺夫指数；混沌

1　引言

物理、化学、生物学，以及社会讲科学等等各个学科领域中都有混沌现象。作为一种普遍存在的非线性现象，今年来许多专家和学者对非线性电路的混沌行为进行了广泛研究[1-6]，其中最典型的是由美国Berkeley大学的Leon.O.Chua提出的蔡氏电路（Chua’sCircuit），它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路[7]，其非线性动力学行为复杂丰富，这使得该混沌电路有可能在更广的领域得到应用，如混沌保密通信技术，传感器应用，混沌扩频通信技术等。基于这些特点，对蔡氏电路的讨论和研究也有较高的实践意义。

2　蔡氏电路模型

一般自治动力系统产生混沌现象需要具备一定的条件：系统至少有三个状态变量，并且存在一定的非线性环节[8]。蔡氏电路使用三个储能元件（电感L、两个电容C1和C2）和一个非线性电阻NR，电路如图1所示。

由Kirchhoff电流定律（KCL）和K irchhoff电压定律（KVL），可推出图1电路的状态方程为：

其中，VC1为电容C1两端的电压，VC2为电容C2两端的电压，iL为通过电感L的电流，i(VC1)为非线性电阻NR的伏安特性函数：

非线性电阻NR是分段线性的蔡氏二极管，是核心元件，它由两个非线性电阻RN1与RN2并联构成，每个非线性电阻又分别由1个运算放大器和3个电阻组成，两个非线性电阻及其伏安特性如图2所示。

当适当选取电阻的参数值，使E2＞＞E1，同时也使E2远大于蔡氏电路正常工作时|VC 1|的变化范围，则在电路工作范围内，RN 2是一个线性负电阻，RN1与RN2并联后可实现非线性电阻NR的伏安特性，其中

3　蔡氏电路动力学系统的平衡点分析

将式（3）化成线性方程：

中，都有唯一的平衡点：

对非线性动力学系统来说，从相空间的角度来分析问题，耗散系统的一个重要特征就是在系统的演化过程体积收缩。

4　蔡氏电路动力学系统的Matlab仿真

通过计算，其李雅普诺夫指数谱如图3所示。

由系统的李雅普诺夫指数谱图分析可得，在一定区域内，第一个李雅普诺夫指数，为正值，说明其混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出以正指数率彼此互相排斥的特性；另外两个李雅普诺夫指数λL2、λL3均为负值，说明其混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出以负指数率互相收缩折叠的特性。在系统动力学行为的演化过程中，由于李雅普诺夫指数值具有正值与负值的性质，导致系统的轨迹在相空间不断伸展与折叠，从而系统相图才形成了奇怪吸引子。该三维非线性自治混沌动力学系统的李雅普诺夫维数是分数维数，其维数为：

其中x-y、x-z、y-z以及x-y-z的二维相平面图是三维相平面图在对应坐标轴上的投影。而这个三维非线性自治混沌动力学系统的时域波形如图5所示，其时域波形是非周期的，不可预测的，或者说其时域波形的周期是无穷大。

5　结束语

通过仿真和数值计算结果表明，在一定的参数和初值条件下，蔡氏电路的结构虽然简单，却有着丰富复杂的混沌动力学特征，在相同的混沌行为预期下，仿真实验与真实实验的参数范围可能存在一些差别，但是总体而言，仿真实验与真实实验有较好的对等性，而且仿真实验更能预判混沌行为，更准确地观测到混沌吸引子的行为特征。随着对蔡氏电路的深入研究，其必将在保密通信，灾害预测，电力系统，传感器应用等诸多领域等到更加广泛的应用。

参考文献:

[1]齐爱学,卞丽,李卫兵.基于记忆电阻的Chua混沌电路的实现及动态性能分析[J].中国海洋大学学报,2011,41(06):119-124.

[2]WANGYu-fei,QIAOShu-tong,JIANGJian-guo.Simulat ionof ChaosinAsymmet ricNonlinearChua’sCircui t[J].Shanghai JiaotongUniv,2008,13(04):453-456.

[3]ChuaLO,WuCW,HuangA,etal.Auniversalcircui tfor studyingandgenerat ingchaos-par t:Routestochaos[J].IEEE TransCircui tsSyst,1993,40(10):732-742.

[4]罗利军,李银山,李彤,董青田.李雅普诺夫指数谱的研究与仿真[J].计算机仿真,2005,22(12):285-286.

[5]刘春美.Lyapunov方法在系统稳定性理论上的应用[D].东北师范大学,2010,3-9.

[6]卢元元,薛丽萍.蔡氏电路实验研究[J].电气电子教学学报, 2003,25(3):68-69.

[7]MatsumotoT.Achaoticatt ractorf romChua’scircuit[J]. IEEETransCircui tsSyst,1984,31(12):1055-1058.

[8]KennedyMP.Threestepstochaos-partII:AChua’scircuit primer[J].IEEETransCircuitsSyst,1993,40(10):657-674.

作者简介：鲍林云(1990-)，男，福建永泰人，硕士研究生，研究方向：非线性控制系统、混沌及保密通信。